赵爽的弦图
一只书虫仔
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个人记录
今天我们来聊聊重要不等式。
均值不等式
二元均值不等式
设a,b为正实数，则
\dfrac{2ab}{a+b}\leqslant\sqrt{ab}\leqslant\dfrac{a+b}{2}\leqslant\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}
n元均值不等式
各种平均数
设a_1,a_2,\cdots,a_n是n个正实数，有以下定义
$$Q_n=\left(\dfrac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{n}\right)^{\frac{1}{2}}$$
$2.$**算术平均数**
$$A_n=\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$$
$3.$**几何平均数**
$$G_n=(a_1a_2\cdots a_n)^{\frac{1}{n}}$$
$4.$**调和平均数**
$$H_n=\dfrac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}}$$
#### 算术-几何均值不等式
对于任意$n$个正实数$a_1,a_2,\cdots,a_n$，有
$$A_n\geqslant G_n$$
其中等号成立的条件是$a_1=a_2=\cdots=a_n$。
#### $n$元均值不等式
对于任意$n$个正实数$a_1,a_2,\cdots,a_n$，有
$$Q_n\geqslant A_n\geqslant G_n\geqslant H_n$$
其中等号成立的条件是$a_1=a_2=\cdots=a_n$。
OK，下面作者拓宽一些资料里没有的不等式。（来自百度）
## 柯西不等式
$$\sum\limits_{i=1}^na_i\,^2\sum\limits_{i=1}^nb_i\,^2\geqslant\left(\sum\limits_{i=1}^na_ib_i\right)^2$$
如果想让$\geqslant$变成$=$，就必须至少满足以下一个条件。
$1.$ $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=\cdots=\dfrac{a_n}{b_n}$；
$2.$ $a_i,b_i$中至少有一方全为零，$i=1,2,3,\cdots,n$。
## 卡尔松不等式
p.s.卡尔松不等式为柯西不等式的变形
$$(x_1+y_1+\cdots)(x_2+y_2+\cdots)\cdots(x_n+y_n+\cdots)\geqslant\left[\left(\prod\limits_{i=1}^nx_i\right)^{\frac{1}{n}}+\left(\prod\limits_{i=1}^ny_i\right)^{\frac{1}{n}}+\cdots\right]^n$$
~~当场去世~~
## 伯努利不等式
对实数$x>-1$，
在$n\geqslant1$时，有$(1+x)^n\geqslant1+nx$；
在$0\leqslant n\leqslant1$时，有$(1+x)^n\leqslant1+nx$。
得出伯努利不等式一般式为
$$(1+x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n)\leqslant(1+x_1)(1+x_2)(1+x_3)\cdots(1+x_n)$$
我们可以得出以下性质：
$1.$对于任意$1\leqslant i,j\leqslant n$都有$x_i\geqslant-1$且$\text{sign}(x_i)=\text{sign}(x_j)$，即所有$x_i$同号且$\geqslant-1$；
$2.$当且仅当$n=1$时等号成立。
好，今天我们就聊到这里。~~反正最后三个不等式我看不懂，偷偷跟你说柯西不等式还有别的形式，因为我怕死人我就没写[旺柴]~~