数学学习笔记-必修一第一章

Nemonade · 2022-07-18 09:22:09 · 个人记录

• 1.1.1 集合的定义

元素构成的整体称为集合，简称集。

两个集合中元素完全一样，就称这两个集合相等。

如果元素 a 是集合 A 中的元素，就说 a 属于 A，记作 a\in A，否则就说 a 不属于 A，记作 a\notin A。

常用集合及其记法：

自然数集：\textbf{N}；

正整数集：\textbf{N}^* 或 \textbf{N}_+；

整数集：\textbf{Z}；

有理数集：\textbf{Q}；

实数集：\textbf{R}。

• 1.1.2 集合的表示

一、将集合中元素一一列举，并用花括号“\{\;\;\}”括起来表示集合的方法称为列举法。

二、设有一个集合 A，其中有共同性质 P(x) 的元素 x 构成的集合表示为 \{x\in A|P(x)\}。这种方法称为描述法。当 x\in\textbf{R} 或 x\in\textbf{Z} 是明确时可以省略，只写 x。

显然，对于任何 y\in\{x\in A|P(x)\}，都有 y\in A，且 P(y) 成立。

如果集合 A 中的元素全部是集合 B 中的元素，则称 A 是 B 的子集，记作 A\subseteq B 或 A\supseteq B，读作“A 包含于 B”或“B 包含 A”。

显然，如果 A\subseteq B 且 B\subseteq A，则 A=B。

如果集合 A\subseteq B，但是有 x\in B 且 x\notin A，则称 A 是 B 的真子集，记作 A \subsetneqq B 或 B\supsetneqq A ，读作“A 真包含于 B”或“B 真包含 A”。

一般把不含元素的集合叫空集，写作 \varnothing。

推论1：任何一个集合是它自己的子集，即 A\subseteq A。

推论2：对于集合 A，B，C，如果 A\subseteq B 且 B\subseteq C，则 A\subseteq C。

• 1.3.1 并集

属于集合 A 或属于集合 B 的元素构成的集合称为 A 和 B 的并集，记作 A \cup B，显然 A\cup B=\{x|x\in A\; \text{or}\;x\in B\}。

• 1.3.2 交集

属于集合 A 且属于集合 B 的元素构成的集合称为 A 和 B 的并集，记作 A \cap B，显然 A\cap B=\{x|x\in A\;\text{and}\;x\in B\}。

• 1.3.3 补集

如果一个集合包含说研究对象的所有元素，这称这个集合为全集，记作 U。

对于集合 A，由所有 x\in U 且 x\notin A 构成的集合，称为集合 A 相对于全集 U 的补集，简称集合 A 的补集，记作 \complement_UA，显然 \complement_UA=\{x|x\in U\;\text{and}\;x\notin A\}。

• 1.4.1 充分条件与必要条件

如果有命题 p 与 q，且“若 p，则 q”为真命题，则说由 p 可以推出 q，记作 p \Rightarrow q。并且说 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。

• 1.4.2 充要条件

如果“若 p，则 q”和它的逆命题“若 p，则 q”均是真命题，即既 p\Rightarrow q，且 q\Rightarrow p，就记作 p\Leftrightarrow q。称 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件。

• 1.5.1 全称量词

“所有的”“任意”在逻辑中称为全称量词，用符号 \forall 表示。含有全称量词的命题叫做全称量词命题。如“对于集合 M 中任意一个 x，p(x) 成立”可以表示为 \forall x\in M,p(x)。

• 1.5.2 存在量词

“存在一个”“至少有一个”在逻辑中称为存在量词，用符号 \exists 表示。含有存在量词的命题叫做存在量词命题。如“对于集合 M 中，有一个 x，使得 p(x) 成立”可以表示为 \exists x\in M,p(x)。

显然，全称量词命题 \forall x\in M,p(x) 的否定是存在量词命题 \exists x\in M,\neg p(x)，存在量词命题 \exists x\in M,p(x) 的否定是全称量词命题 \forall x\in M,\neg p(x)。

习题1.1.2 用列举法表示集合 B=\{x\in\textbf{Z}|-3<2x-1<3\}

解：解不等式得 -1<x<2，又 x\in \textbf{Z} 可得 B={0,1}。