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个人记录
今天我来聊聊函数的几个特性。
函数的单调性
函数的单调性跟我们初中强调的东西很像。不提初中的东西了，上高中的概念。
\forall x_1,x_2\in I,x_1<x_2
有
f(x_1)<f(x_2)(f(x_1)>f(x_2))
则f(x)在I上递增（减）。
这应该很好理解吧？
$$\forall x_1,x_2\in I,x_1\ne x_2,\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0$$
或
$$\forall x_1,x_2\in I,x_1\ne x_2,(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0$$
$1$**定义法**：对$f(x_1)-f(x_2)$进行代数变形，之后学了导数会得心应手。
$2$**运算法**：（下面增函数简称$z$，减函数简称$j$）
$$z+z=z$$
$$j+j=j$$
$$z/j*\mathbb{R}^+=z/j$$
$$z/j*\mathbb{R}^-=j/z$$
$3$**复合函数的单调性**：复合函数的单调性满足**同增异减**。
## 函数的奇偶性
如果自变量取相反数，函数值不变，则为**偶函数**；函数值也变为相反数，则为**奇函数**。
定义在$D$上的函数$f(x)$为偶函数（**偶函数关于$y$轴对称**）
$$\forall x\in D,f(-x)=f(x)$$
定义在$D$上的函数$f(x)$为奇函数（**奇函数关于原点对称**）
$$\forall x\in D,f(-x)=-f(x)$$
这个应该很好理解，取相反数吗，下面来看看怎么判断奇偶性。
$1$**定义法**：定义域对称的话，直接将$f(-x)$向$f(x)$方向变形。对于比较复杂的函数，先取一对特殊值判断出可能的奇偶性，再直接计算$f(-x)+f(x)$或$f(-x)-f(x)$的值。
$2$**图像法**：看数学语言的括号内写的什么。
$3$**运算法**：（下面奇函数简称$j$，偶函数简称$o$）
$$j/o\pm j/o=j/o$$
$$j/o*j/o=o$$
$$j*o=j$$
$4$**奇偶性的复合**：定义域满足条件下，有偶则偶，无偶则奇。
## 函数的对称性
这个东西今天聊一半，咱们今天只聊轴对称函数。
函数$f(x)$的图像关于$x=a$轴对称，当且仅当$f(a+x)=f(a-x)$对定义域内的$x$恒成立。即自变量的和为$2a$时，函数值相等。函数$f(x)$的图像关于$x=a$对称，与函数$y=f(x+a)$是偶函数等价。偶函数是特殊的轴对称函数。
好的，今天我们就先聊到这里。
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