创新人才
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学习·文化课
创新人才数学题总结
目录
- 行程问题
- 工程问题
- 浓度问题
- 几何问题
- 数论问题
- 计数问题（排列组合）
1. 行程问题
1.1 相遇行程问题
对于相遇问题，通常存在两人 a,b，进行相遇。
公式如下：
t_{相遇} = \frac{S}{V_a + v_b}
S = t(v_a + v_b)
v_a + v_b = \frac{S}{t}
当两人第 x 次迎面相遇时，两人一共走了 2x - 1 个全程。
1.2 追及行程问题
对于追及问题，通常存在两人 a,b，进行追及。
公式如下：
t_{追及} = \frac{S}{v_{a} - v_b}
S = t(v_a-v_b)
v_a - v_b = \frac{S}{t}
当两人第 x 次追及相遇时，两人一共走了 2x 个全程。
1.1-2 组合行程问题（多人多次相遇追及）
当出现多人多次相遇追及问题时，首先要进行分析速度关系，例如下题：
例：
有甲、乙、丙三辆汽车，各以一定的速度从某地出发同向而行。乙比丙晚 10 分钟出发，出发后 40 分钟追上丙；甲比乙晚出发 20 分钟，出发后一小时40分追上丙，请问：甲出发多少分钟后追上乙？
这道题分析如下
10v_丙 = 40(v_乙 - v_丙)\\
30v_丙 = 100(v_甲 - v_丙)\\
根据此式列出速度比即可
1.3 变速行程问题
求平均速度：
v_{平均} = S_总 \div t_总
变速问题通常需要画图解决变速关系，再列关系式求解
1.4 流水行船问题
逆水速度 = 静水速度 - 水速
顺水速度 = 静水速度 + 水速
顺水速度 - 溺水速度 = 2 \times 水速
1.5 火车行程问题
火车过桥：（火车长 + 桥长）除以车速
火车相遇（头相遇）：相遇路程 除以 两车车速和
火车完全相遇（尾驶离）：（相遇路程 + 两车车长）除以 两车车速和
火车从头相遇到尾驶离：两车车长 除以 两车车速和
火车追及：（追及路程 + 两车车长） 除以 两车车速差
火车与人相遇：相遇路程 除以 人加车速
火车与人追及（尾驶离）：（追及路程 + 车长） 除以 人与车速差
1.6 比例解行程问题
当路程相同时，时间与速度成反比；
当时间相同时，路程与速度成正比；
当速度相同时，路程与时间成正比；
1.7 柳卡图
一种把时间和路程映射到一个平面的图，用于多次相遇追及的找规律，需结合沙漏模型进行解答。
https://www.bilibili.com/video/BV1D3BiYRE41/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=b3dc00fcf2c0446858234ec7119e2956
视频
2. 工程问题
3. 浓度问题
4. 几何问题
4.1 等高模型
如上图，S_1 : S_2 = a : b
当两个三角形高相等时，面积比等于底边比
等高模型可以使用在任意两个高相等的三角形中
4.2 等积变形
当两个三角形等底等高时，两个三角形面积相等
那么，由于两条平行线内垂足处处相等，所以当出现平行线时，可以将三角形的一个在平行线上的点(如A)拉到这条直线 (直线AB)上的其他点，如 B.
通俗来讲，这个方法叫拉窗帘
4.3 容斥原理
当一个图形有点不规则时，可以通过其他的规则图形的加减得到，如：
当求 S_A - S_B 时，可以通过中间的那一块 S_C 求得：
S_A - S_B = (S_A + S_C) - (S_B + S_C)
这时 (S_A + S_C) 是平行四边形， (S_B + S_C) 是三角形，就可以通过规则图形相减了
4.4 鸟头模型
推导：
S_{\triangle ABE} = S_{\triangle ABC} \times \frac{AC}{AE}
S_{\triangle ADE} = S_{\triangle ABE} \times \frac{AB}{AD}
S_{\triangle ADE} = S_{\triangle ABC} \times \frac{AC}{AE} \times \frac{AB}{AD}
如上
推导：
S_{\triangle ABE} = S_{\triangle ABC} \times \frac{AC}{AE}
S_{\triangle AED} = S_{\triangle ABE} \times \frac{AD}{AB}
S_{\triangle AED} = S_{\triangle ABC} \times \frac{AC}{AE} \times \frac{AD}{AB}
如上
4.5 蝴蝶模型
AO : OC = DO : OB = S_1 : S_2 = S_1 : S_4 = S_2 : S_3 = S_4 : S_3 = S_1 + S_2 : S_3 + S_4 = S_1 + S_4 : S_2 : S_3 = a : b
S_1:S_2:S_4:S_3 = a^2 : ab : ab : b^2
S_1 以 a 为底高与 S_3 以 b 为底的高的比为 a:b（适用于柳卡图，求占总路程的几分之几）
S_1 \times S_3 = S_2 \times S_4
S_1 + S_2 : S_3 + S_4 = AO : OC
S_1 + S_4 : S_2 + S_3 = DO : OB
最后三条同样适用于任意四边形（其余仅适用于梯形）
4.6 燕尾模型
S_1 : S_2 = S_3 : S_4 = CD : DB
4.7 沙漏模型
见蝴蝶模型的结论，形似蝴蝶模型，但去掉了蝴蝶的翅膀
4.8 折射问题
形如光线反射问题，我们可以多复制这个图形，并把光线拉直成直线（直接不折射）
4.9 大题蹭分小技巧
强行建系，列方程（可以看bilibili）
5. 数论问题
5.1 整除问题
$8,125$ 的整除性质：末三位能被 $8,125$ 整除
$2$ 的整除性质：末一位是 $0,2,4,6,8
$5$ 的整除性质：末一位是 $0,5
$13$ 的整除性质：**截尾法**：末位×4后与前数相加，重复至能判断
$11$ 的整除性质：**奇数位和 - 偶数位和**的差能被11整除
### 5.2 余数问题
#### 5.2.1 同余问题
当
$$
\begin{align}
a &\equiv x \pmod{m} \\
b &\equiv x \pmod{n}
\end{align}
$$
时，$x \mid (a - b)$ ，可以通过质因数分解来找到 $x$ 所有的可能值
#### 5.2.2 逐一满足
当存在方程
$$
\begin{align}
a &\equiv x \pmod{m} \\
a &\equiv y \pmod{n} \\
a &\equiv z \pmod{k}
\end{align}
$$
时，可以通过逐一满足法逐一满足方程
比如：
$1. a = x,x + m,x + 2m,x + 3m ...
2. a = y(同时满足第一个和第二个条件的最小数(从条件1中找)),y + [m,n],y + 2[m,n]
3. a = z(同时满足第一个、第二个条件和第三个条件的最小数(从条件2中找)),y + [m,n,k],y + 2[m,n,k]
最小答案为 z，其中 [m,n,k] 代表 m,n,k 的最小公倍数
5.2.3 找规律
当存在一串有规律的数字反复出现时(如 \overline{aaaaaaaaaaaa})，我们需要从一位数开始枚举，找出规律
5.3 因数
5.3.1 因数个数
通常来说，因数个数的表达式如下：
当存在数字 a = p_1^{q_1} \times p_2^{q_2} \times P_3^{q_3}，其中 p_w 为质数 ，整数 a 的 因数个数为 (q_1+1)(q_2+1)(q_3+1)，以此类推
5.3.2 因数问题
当出现一个数的因数个数时，第一步将这个个数质因数分解，进而求出整数 a 的因数分解表达形式
5.4 大题蹭分小技巧
把题目的关系式用同余，整除之类的式子先写出来，会的在继续写，不会的就跳过了
6. 计数问题（排列组合）
详见https://www.bilibili.com/video/BV1S14y1g7ZV?vd_source=b3dc00fcf2c0446858234ec7119e2956&spm_id_from=333.788.videopod.episodes
6.1 隔板法
在一些物品中插入另一些东西，共有两种隔板方式
6.1.1 不可以为零的隔板
中间必须有东西，那么插得板就是物品数减一(n - 1)，答案为 C_{n-1}^m，其中 m 为板数
6.1.2 可以为零的隔板
中间可以没有东西，那么就可以转化为一个数字构造问题，答案为 C_{n+m}^m，其中 m 为板数，n 为物品数
6.2 数字构造问题
把数字到空格里面，每一个数字分别可以有 C_k^n 种填法，其中 k 为剩下空格数，n 为此数字个数
6.3 递推
通过枚举找到规律，然后根据规律算出答案
6.4 传球法
通过列表完成，详细可看上述视频合集
6.5 概率
通过 \frac{满足要求方案数}{总方案数} 求出