《高等数学》习题6.7选做

2. 在点 $\displaystyle ( 0,0)$ 的邻域内，将下列函数按带 Peano 型余项展开成 Taylor 公式（到二阶）： (1) $\displaystyle f( x,y) =\frac{\cos x}{\cos y}$ 解：$\displaystyle \frac{\cos x}{\cos y} =\frac{1-\frac{x^{2}}{2} +o\left( \rho ^{3}\right)}{1-\frac{y^{2}}{2} +o\left( \rho ^{3}\right)} =1-\frac{x^{2}}{2} +\frac{y^{2}}{2} +o\left( \rho ^{3}\right)$。 (2) $\displaystyle f( x,y) =\ln( 1+x+y)$ 解：$\displaystyle \ln( 1+x+y) =x+y-\frac{( x+y)^{2}}{2} +o\left( \rho ^{3}\right)$ (4) $\displaystyle f( x,y) =\sin\left( x^{2} +y^{2}\right)$ 解：$\displaystyle f( x,y) =x^{2} +y^{2} +o\left( \rho ^{3}\right)$ 3. 在 $\displaystyle ( 0,0)$ 的邻域内，将函数 $\displaystyle f( x,y) =\ln( 1+x+y)$ 按 Lagrange 余项展开成 Taylor 公式（到一阶） 解：$\displaystyle f( x,y) =x+y+\frac{\mathrm{d}^{2}}{2!} f( \theta x,\theta y)( x+y)^{2} =x+y-\frac{( x+y)^{2}}{2( 1+\theta x+\theta y)^{2}} ,\quad \theta \in ( 0,1)$。 4. 利用 Taylor 公式证明：当 $\displaystyle | x| ,| y| ,| z| $ 充分小的时候，有近似公式： $$ \cos( x+y+z) -\cos x\cos y\cos z\approx -( xy+yz+zx) $$ 解：考虑 $\displaystyle \cos( x+y+z) =1-\frac{( x+y+z)^{2}}{2} +o\left( \rho ^{3}\right) ,\cos x\cos y\cos z=1-\frac{x^{2} +y^{2} +z^{2}}{2} +o\left( \rho ^{3}\right)$，因此 $\displaystyle \cos( x+y+z) -\cos x\cos y\cos z=-( xy+yz+zx) +o\left( \rho ^{3}\right)$。 5. 设 $\displaystyle D$ 是单位元 $\displaystyle D=\left\{( x,y)\middle| x^{2} +y^{2} < 1\right\}$，又设函数 $\displaystyle f( x,y)$ 在 $\displaystyle D$ 内有连续的偏导数，满足 $\displaystyle xf_{x}( x,y) +yf_{y}( x,y) \equiv 0$。证明：$\displaystyle f( x,y)$ 在 $\displaystyle D$ 内是常数。 解：考虑 $\displaystyle ( 0,0)$ 到 $\displaystyle ( x,y)$ 的连线，有 $\displaystyle f( x,y) =f( 0,0) +\mathrm{d} f( \theta x,\theta y)( x+y)$，而 $\displaystyle \mathrm{d} f( \theta x,\theta y) =xf_{x}( \theta x,\theta y) +yf_{y}( \theta x,\theta y) =\theta ^{-1}[ \theta xf_{x}( \theta x,\theta y) +\theta yf_{y}( \theta x,\theta y)] =0$，因此 $\displaystyle f( x,y) =f( 0,0)$。