八省联考数学11题扩展问题——琼斯多项式
前情提要：
故事是这个样子的：一个平平无奇的周末，我在家里刷着毕导的视频，然后我看到了下面这个视频，然后我就捕捉到了用多项式描述绳结这个关键词，然后当时就感兴趣的去查了查但是也没深究，随后是一个平平无奇的周五，在串班到四班玩的时候，我偶然发现有几人聚在一起研究八省联考题，我索性凑了过去，结果一看不要紧，这八省联考第11题居然就是一个打结问题！我觉得和这琼斯缘分不小，于是花了一段时间研究了一下。
对于这个八省联考第11题，他主要研究的是同痕问题，同痕，翻译成人话就是经过不破坏绳子的变换能够互相转化的绳结就是同痕的。
著名国学大师，数学大师曹成俊曾经说过“在变的情境中认清不变的本质，在不变的本质中探究变的规律”，所以去探究两个结是否相同就要先知道两个相同的结有什么不变的点。
研究三维的这种穿插问题对于我们普通高中生来说还是太过于困难了，所以我们要做的第一件事就是将他铺到一个平面中，比如这个八省联考题中这样，用断开的线表示被压在下面的线，直线则是在最表层的线，但是要注意，将其压成二维时要注意不能出现三线共点！
聪明的小牛牛已经发现了盲点，既然结是线的交点，那么研究结其实就是在研究这个交点，还有更聪明的小牛牛发现这个交点是具有手性的，然后就想到了将其用化学的方式表述，由于小牛牛实在是太牛了，所以我也看不懂她在写些什么，我觉得她可能是在研究空间异构吧……(所以当我没说就好)
虽然小牛牛很牛，但是这种方法不足以满足我们的需求，如果是更加复杂的绳结呢？显然是难以处理的。(这里我也不太懂的提出一个设想，是否这样的空间异构的物质都能够对应到一个绳结从而用多项式来研究呢？)
好了闲话说完了，开始说正事：
1927年，赖德迈斯特提出了一个定理，如果两个绳结同痕，那么他一定可以通过刚才那种平面投影图中的三种变换互相转化(如果下图中的第一种不算一种的话)。逆命题同样成立(就是充要的)。
这个定理的证明我没有找到，当成定理看吧……
第零种变换不需要过多解释，第一种变换就是直接给一根绳打了个结，第二种变换时一根绳压在另一根绳上方(不要局限于这个图上给的情况)，最后第三种是一个绳在另外两根绳上滑动。当然，这里的绳可以说是广义的绳，他们之间也可以是接合起来的，但是局部看上去就是这个样子的。
所以说，如果我们能找到一个多项式，能够表示相同的绳结，也就等价于这个多项式以及这个多项式的运算法则能够满足上面这三种变换我们就成功了。
FBI Warning：下面的内容非常的无厘头，我找了很多很多的文献资料，也几乎没有任何一个资料提到为什么要这样做，都是直接一堆运算砸上去了，然后我频频点头对对对，这个方法好合理。我自己试图理解也没有成功，最终我在一个犄角旮旯里注意到了一个定理，由于我忘了是在哪看到的了，我就没截图，定理的内容是两个绳结在任意一个位置进行下面这种连接后得到的绳结是同一个绳结，这个定理同样不知道证明。
我猜测可能就是在这个定理下才有了这种多项式的方法(当然真的只是我的猜测，我没有找到确切的原因)。
首先定义尖括号多项式，以及相关运算。
第一行表示定义一个朴素的圆是值是 1，随后第二行定义一个结不交叉的在加上一个朴素的圆，他的值就等于 d 倍的那个结的多项式，比如两个朴素的圆并列放置所形成的结构，他的尖括号多项式就可以表示成 d，因为他是一个朴素的圆并上一个朴素的圆，等于 d 倍的一个朴素的圆的多项式，即 d。
随后第三行第四行就是最迷惑的点了，他定义了一种拆分运算，将一个结拆分开，我不知道他为何要这样定义，我只能妄加猜测(下面内容开始胡扯)：由于上面的那个两个结连接成唯一一个结的结论，一个交叉的结可以看作是两个结相连后吧一个结拧180°形成的结，但是我们只看这个结是不知道他究竟是左上右上两点相连是那条通路还是左上左下那两个点相连是那条通路，所以我们索性把他都算上。
上面的猜想纯属猜想，完全不建议观看。
好的我们现在不管这个是怎么想到的，只看这个运算，三四行其实说的是一个事情，因为知周所众，你可以把头旋转90°。
好的啊，下面我们只需要让这种定义能够满足之前的那个变换要求即可。
我们先来看第二种变换(待会你就知道为什么跳过第一种了)
特别注意，这里的左上右上左下右下四个点是抽象的点，所以横着的两条线和竖着的两条线是不同的，你可以理解为是滑动变阻器上的四个节点，他还连着别的东西。
通过这个变换的我们得到了一个重要的结论。
我们带着这个结论再去验证第三种变换。
我们很轻松的验证了他的成立，走到这里，我们长出一口气，并且喊出我们的口号：成功一半了！
该死的甚么，你成功了畜生？
(不要在意我最后抄漏了一个多项式，意会即可)
迎面走来的是第一种变换选手，只见他意气风发，斗志昂扬，一个大逼斗就给我我们刚研究出来的结论干趴下了，但是我们的结论并不服，于是他请出了传说中的补丁！
有聪明的小牛牛认为可以令
既然你拧一个结就会出问题，那我根据你有多少结给你把这个多余的系数扬了不就行了？
我们注意到多出来的这个系数与这个结拧的方向是有关的，所以我们需要先定义一个结的正反，我们把一根绳钦定一个正方向，然后像这样以在上面的绳的方向旋转到在下面的绳的方向，如果这个旋转方向是逆时针的我们就称这个为正交叉点，值记为 +1，反之则为负交叉点，值记为 -1。(当然旋转肯定是转小角度的)
我们定义一个结的拧数就为所有结的值相加
例如你再把这个题上的图翻出来，这个题干中的图，很明显拧数
还有个很明显的结论是对于变换二和变换三拧数不变，所以我们只需要为我们的尖括号多项式额外乘上一个
下面我们就来使用琼斯多项式这把牛刀来解决一下八省联考这只鸡。
首先 D 选项有三根绳，胡扯，选了。
终于啊，花费了一下午的时间，我们终于科学的解决了八省联考的第 11 题，题出的很好下次别出了。
参考文献：
知乎纽结理论和琼斯多项式
【毕导】鸡 爷 结 ！我给出了耳机不打结的完美方法！
还有一些懒得列了。
特别鸣谢：我的母亲
感谢她没有因为我坐在电脑前一下午整这些有的没的一脚给我踹出家门。