2023 全国乙卷理科综合第 25 题：记一种高明而理性的分析
whhsteven
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学习·文化课
前言
这是 2023 年全国乙卷理科综合第 25 题（第 (3) 问），即物理压轴题，也是全卷压轴题。
这道题被至少两本教辅书评价为“难度极大”。在我印象中教辅书不会轻易评价一个题是“难度极大”。
我翻看了步步高大二轮复习讲义、天利 38 套、天星 5 年高考试题汇编和十年高考这四本教辅的答案解析，前三本的都或多或少让我感到神秘和疑惑。
十年高考的答案解析写得相对还行，我阅读学习后，在其基础上做了改进，感觉得到了一个比较高明（相比于铁头暴力计算）而理性（相比于前三本答案上不讲道理地“观察”“归纳”出规律）的做法。记之。
正题
换参考系，得不变量
首先，球和盒均在运动，运动学分析确实繁杂。但是，除每次碰撞过程外，其它时候盒总在做匀速直线运动，所以这些时候我们可以以盒为惯性参考系，将问题转变为研究球这一个物体的运动。
这一步换系感觉真的十分高明。这是因为，我们马上就将看到，换系后易得，相邻两次碰撞之间的时间总是同一个常数！
请注意本文中约定，不指明参考系时，依然是以地面为参考系。
考虑在“盒参考系”下看碰撞情景。这里显然并不能以这个速度突变的盒为惯性参考系，而实际上是每次取一个静止或匀速直线运动的“物体”为参考系，这个“物体”的速度是当次碰撞前瞬间盒的速度。每次碰撞在其所对应的这个参考系下都成了动碰静型的碰撞，容易写出碰后小球在这个参考系的速度大小总是 v_0 = \sqrt{2gl}。
相邻两次碰撞之间，盒匀速直线运动，在盒参考系下，小球在做竖直上抛运动，且回到出发点之时即是发生下一次碰撞之时。容易知道，每次碰撞前后瞬间球相对盒的速度大小总是 \boldsymbol {v_0}，两次碰撞之间的时间总是 \displaystyle \boldsymbol{t = \frac{2v_0}g}。
回到地面系，分析递变规律
得到了上面两个重要的不变量，现在我们回到地面系。
现在考察相邻两次碰撞之间的变化。
设第 n 次碰撞前后球速分别为 v_{0,n}, {v_{0,n}}^\prime，盒速分别为 v_{1,n}, {v_{1,n}}^\prime。则由弹性正碰易得
\begin{cases}
{v_{0,n}}^\prime = -\frac12v_{0,n} + \frac32v_{1,n} \\
{v_{1,n}}^\prime = \frac12v_{0,n} + \frac12v_{1,n}
\end{cases}
刚才我们又得到每次碰撞前后相对速度大小总是 v_0，故 v_{0,n} = v_{1,n} + v_0。由此得
\begin{cases}
{v_{0,n}}^\prime = v_{1,n} -\frac12v_0\\
{v_{1,n}}^\prime = v_{1,n} +\frac12v_0
\end{cases}
即：每次碰撞后，盒速总增加 \displaystyle \frac12v_0。
由此可得
{v_{1,n}}^\prime = \frac12nv_0
进而第 n 次碰撞到第 n + 1 次碰撞之间盒的位移
\Delta x_n = {v_{1,n}}^\prime t = \frac{nv_0^2}{g} = 2nl
水到渠成，得出结论
我们用巧妙的分析，以严谨理性的方式自然地得到了这个在部分答案解析上被强行给出的结论。
接下来便是轻松愉快的收尾工作。
\begin{aligned}
\Delta x_1 + \Delta x_2 + \Delta x_3 &= 12l < 19l \\
\Delta x_1 + \Delta x_2 + \Delta x_3 + \Delta x_4 &= 20l > 19l
\end{aligned}
故球和盒总共碰撞 4 次。
答卷书写
解：
由弹性碰撞，分析可知，每次碰撞前后瞬间球与盒的相对速度大小总是 v_0 = \sqrt{2gl}。
两次碰撞之间，以盒为参考系，球做初速度为 v_0 的竖直上抛运动且恰好回到出发点。故 \displaystyle t = \frac{2v_0}{g}。
设第 n 次碰撞前后球速分别为 v_{0,n}, {v_{0,n}}^\prime，盒速分别为 v_{1,n}, {v_{1,n}}^\prime。由动量守恒、机械能守恒及前面分析结论有
\begin{cases}
mv_{0,n} + Mv_{1,n} = m{v_{0,n}}^\prime + M{v_{1,n}}^\prime \\
\frac12m{v_{0,n}}^2 + \frac12M{v_{1,n}}^2 = \frac12m{{v_{0,n}}^\prime}^2 + \frac12M{{v_{1,n}}^\prime}^2 \\
v_{0,n} = v_{1,n} + v_0
\end{cases}
解得
\begin{cases}
{v_{0,n}}^\prime = v_{1,n} -\frac12v_0\\
{v_{1,n}}^\prime = v_{1,n} +\frac12v_0
\end{cases}
由此可得
{v_{1,n}}^\prime = \frac12nv_0
则第 n 次碰撞到第 n + 1 次碰撞之间盒的位移
\Delta x_n = {v_{1,n}}^\prime t = 2nl
而
\begin{aligned}
\Delta x_1 + \Delta x_2 + \Delta x_3 &= 12l < 19l \\
\Delta x_1 + \Delta x_2 + \Delta x_3 + \Delta x_4 &= 20l > 19l
\end{aligned}
故球和盒总共碰撞 4 次。