两种方法证明 6 | n^3+5n

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问题

证明

6 \mid n^3 + 5n (n \in \mathbb{N})

直接分析法

n^3 + 5n = n(n^2 + 5)

首先证明 2 \mid n(n^2 + 5)

当 2 \mid n 时，显然成立

当 2 \nmid n 时，有 2 \mid n^2 + 5

其次证明 3 \mid n(n^2 + 5)

设 k \in \mathbb{N}

(i) 当 n = 3k 时，显然成立

(ii) 当 n = 3k + 1 时，n^2 + 5 = 9k^2 + 6k + 6 能被 3 整除

(iii) 当 n = 3k + 2 时，n^2 + 5 = 9k^2 + 12k + 9 能被 3 整除

综上所述，n^3 + 5n 能被 6 整除

数学归纳法

假设有

6 \mid n^3 + 5n (n \in \mathbb{N})

成立，则

(n + 1)^3 + 5(n + 1) = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 5n + 5 = 3(n^2 + n + 2) + (n^3 + 5n)

即 n = n + 1 时原式也成立

又因为 n = 0 时原式的值为 0，能被 6 整除

所以原命题成立