代数不等式（一）

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均值不等式

1.介绍

均值不等式，也称 AM-GM 不等式，是代数不等式的基础，所有的不等式都是由均值不等式来推演或者延伸的，所以说极为重要。

2.形式

\begin{aligned} \frac{\displaystyle\sum _ {i = 1} ^ n \ a_i}{n} &\geqslant \sqrt[n]{\prod \limits_{i=1}^{n}x_{i}}\end{aligned}

(其中，n 是正整数，a_1, a_2,\ldots, a_n 是正实数)

3.如何证明

#### 证法1：归纳 先记 $A_n = \frac{\displaystyle\sum _ {i = 1} ^ n \ a_i}{n}$, $G_{n}=\sqrt[n]{\prod \limits_{i=1}^{n}x_{i}}$，已知 $n = 2$ 时结论成立，我们假设 $n = k$ 时成立。那么当 $n = k + 1$ 时可得 $$\begin{aligned} a_1 + a_2 +\cdots + a_k + a_{k+1} \end{aligned}$$