解析几何
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向量代数
线性运算
即数乘与向量加减，如 \lambda \vec{a}+\mu \vec{b}。
可用于判别退化情况，如：
\begin{aligned}
\vec{a} \parallel \vec{b} &\Leftrightarrow \exist \lambda^2+\mu^2 \neq 0,\text{s.t. } \lambda \vec{a}+\mu \vec{b}=\vec{0}.\\
\vec{a},\vec{b},\vec{c} \text{ 共面} &\Leftrightarrow \exist \lambda^2+\mu^2+\nu^2 \neq 0,\text{s.t. }\lambda\vec{a}+\mu\vec{b}+\nu\vec{c}=\vec{0}.
\end{aligned}
内积
定义式：\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\left<\vec{a},\vec{b}\right>.
垂直判定：\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}=0.
标准系计算式：\vec{a}\cdot\vec{b}=\sum_i a_ib_i.
外积
定义式：\left\{\begin{aligned}&\left|\vec{a} \times \vec{b}\right|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin\left<\vec{a},\vec{b}\right>.\\
&\vec{a},\vec{b},\vec{a} \times \vec{b} \text{ 两两垂直依次构成右手系.}\end{aligned}\right.
平行判定：\vec{a} \parallel \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \times \vec{b}=\vec{0}.
标准系计算式：\vec{a} \times \vec{b}=\left\{ \left| \begin{matrix}
a_2&a_3 \\
b_2&b_3
\end{matrix} \right| ,
\left| \begin{matrix}
a_3&a_1 \\
b_3&b_1
\end{matrix} \right| ,
\left| \begin{matrix}
a_1&a_2 \\
b_1&b_2
\end{matrix} \right| \right\}.
混合积
定义式：(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=(\vec{a} \times \vec{b})\cdot\vec{c} .
几何意义：混合积的绝对值等于三向量张成平行六面体的体积。
平面与直线
平面
-
点位式（参数方程）：
\lambda\vec{a}+\mu\vec{b}=\overrightarrow{OP}\\
\left\{
\begin{aligned}
&x=x_0+\lambda x_a+\mu x_b\\
&y=y_0+\lambda y_a+\mu y_b\\
&z=z_0+\lambda z_a+\mu z_b
\end{aligned}
\right.
通过一个平面上的点与两个平面上的不共线向量确定平面。
-
一般式：
Ax+By+Cz+D=0
在标准系中，\{A,B,C\} 为该平面的一个法向量。
-
截距式（不过原点）：
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 \quad(abc \neq 0)
在 x,y,z 轴上截距分别为 a,b,c .
-
点法式（标准系）：
\overrightarrow{OP} \cdot \vec{n}=0\\A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0
通过一个平面上的点与平面的一个法向量确定平面。
直线
-
点向式（参数方程）：
\lambda \vec{v}=\overrightarrow{OP}\\
\left\{
\begin{aligned}
&x=x_0+\lambda k\\
&y=y_0+\lambda l\\
&z=z_0+\lambda m
\end{aligned}
\right.
用直线上一个点和一个直线的方向向量确定直线。
-
标准方程：
\frac{x-x_0}{k}=\frac{y-y_0}{l}=\frac{z-z_0}{m}=\lambda
感觉跟点向式没什么区别。
-
一般式：
l:
\left\{
\begin{aligned}
A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\
A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0
\end{aligned}
\right.
用两个相交平面确定直线。
直线位置关系的判定
-
观察方向向量，确定是否共线/垂直。
-
两直线上各取点 P,Q，记各自方向向量为 \vec{v_1},\vec{v_2}。
计算 \Delta=(\overrightarrow{PQ},\vec{v_1},\vec{v_2}) .
若 \Delta=0 两直线共面，否则两直线异面。
夹角
-
线线角：
\cos \left< l_1,l_2 \right>=\left| \cos\left< \vec{v_1},\vec{v_2} \right> \right|=\frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}
-
面面角：
\cos \left< \pi_1,\pi_2 \right>=\left| \cos\left< \vec{n_1},\vec{n_2} \right> \right|=\frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}
-
线面角
\sin \left< l,\pi \right>=\left| \cos\left< \vec{v},\vec{n} \right> \right|=\frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|} \quad \Delta \neq 0
距离
-
点线距
d_{p,l}=\frac{\left|\overrightarrow{PQ} \times \vec{v}\right|}{|\vec{v}|}
其中 Q 为 l 上任意一点，相当于对 \overrightarrow{PQ},\vec{v} 张成的平行四边形算：面积/底=高。
-
点面距
d_{p,\pi}=\frac{\left| Ax_0+By_0+Cz_0+D \right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
假设我们取 \pi 上一点 M(x_0,y_0,z_0)，则：
\begin{aligned}
d_{p,\pi}&=\frac{\left| \overrightarrow{MP} \cdot \vec{n} \right|}{|\vec{n}|}\\
&=\frac{\left| A(x_0-x_1)+B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1) \right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\\
&=\frac{\left| (Ax_0+By_0+Cz_0+D) - (Ax_1+By_1+Cz_1+D) \right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\\
&=\frac{\left| Ax_0+By_0+Cz_0+D \right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
\end{aligned}
-
线线距
d_{l_1,l_2}=\frac{|\Delta|}{\left|\vec{v_1}\times\vec{v_2}\right|}
相当于对 \overrightarrow{PQ},\vec{v_1},\vec{v_2} 张成的平行六面体算：体积/底面积=高。
二次曲面
旋转曲面
\left\{
\begin{aligned}
&F(x_0,y_0,z_0)=0\\
&G(x_0,y_0,z_0)=0\\
&k(x-x_0)+l(y-y_0)+m(z-z_0)=0\\
&(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2=(x_0-x_1)^2+(y_0-y_1)^2+(z_0-z_1)^2
\end{aligned}
\right.
第一二行代表 M_0 在母线上，第三四行代表过 M_0 且垂直于转轴的纬圆。
消 x_0,y_0,z_0 可得旋转曲面方程。
柱面
\left\{
\begin{aligned}
&F(x_0,y_0,z_0)=0\\
&G(x_0,y_0,z_0)=0\\
&x=x_0+kt\\
&y=y_0+lt\\
&z=z_0+mt
\end{aligned}
\right.
消 x_0,y_0,z_0,t 可得柱面一般方程。
锥面
\left\{
\begin{aligned}
&F(x_0,y_0,z_0)=0\\
&G(x_0,y_0,z_0)=0\\
&x=x_1+(x_0-x_1)t\\
&y=y_1+(y_0-y_1)t\\
&z=z_1+(z_0-z_1)t
\end{aligned}
\right.
其中 (x_1,y_1,z_1) 为顶点，消 x_0,y_0,z_0,t 可得锥面一般方程。
二次曲面
-
椭球面：
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1
-
单叶双曲面：
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1
具有直纹性。
-
双叶双曲面：
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1
-
椭圆抛物面：
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2z
-
双曲抛物面：
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2z
具有直纹性。
二次曲线的分类
转轴变换
\left[
\begin{matrix}
x'\\y'
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
\cos \theta &-\sin \theta\\
\sin \theta &\cos \theta
\end{matrix}
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
x\\y
\end{matrix}
\right]
转轴消除交叉项
记需转轴 \theta，待定系数可得 \cot 2\theta=\frac{a_{11}-a_{22}}{2a_{12}}，下面简记 \cot 2\theta 为 c，\tan \theta 为 t。
则有 t=\sqrt{c^2+1}-c（当然 t 存在另一个解）。
可取 \sin \theta=\frac{1}{\sqrt{t^2+1}},\cos \theta=\frac{t}{\sqrt{t^2+1}} .
出于方便，后文的简化曲线中依然以 x 代替 x',x''。
记转轴后曲线为 a'_{11}x^2+a'_{22}y^2+...=0，简记 \delta=a'_{11}a'_{22}，则：
### 移轴消除一次项
配方即可。
- 对椭圆型二次曲线，记移轴后曲线为 $a'_{11}x^2+a'_{22}y^2+a'_{33}=0$，简记 $\delta=a'_{11}a'_{33}$，则：
$\delta<0$ 的曲线为椭圆；$\delta>0$ 的曲线为虚椭圆；$\delta=0$ 的曲线退化为一点。
- 对双曲型二次曲线，记移轴后曲线为 $a'_{11}x^2+a'_{22}y^2+a'_{33}=0$，简记 $\delta=a'_{33}$，则：
$\delta \neq 0$ 的曲线为双曲线；$\delta=0$ 的曲线退化为一对相交直线。
- 对抛物型二次曲线，记移轴后曲线为 $a'_{11}x^2+2a'_{23}y=0$，简记 $\delta=a'_{23}$，则：
$\delta \neq 0$ 的曲线为抛物线；$\delta=0$ 的曲线退化。
### 不变量
$$
\begin{aligned}
I_1&=a_{11}+a_{22}\\
I_2&=
\left|
\begin{matrix}
a_{11} &a_{12}\\
a_{12} &a_{22}
\end{matrix}
\right|\\
I_3&=
\left|
\begin{matrix}
a_{11} &a_{12} &a_{13}\\
a_{12} &a_{22} &a_{23}\\
a_{13} &a_{23} &a_{33}
\end{matrix}
\right|\\
\end{aligned}
$$
$I_2>0$ 的曲线为椭圆型的；$I_2<0$ 的曲线为双曲型的；$I_2=0$ 的曲线为抛物型的。
- 对椭圆型二次曲线，简记 $\delta=I_1I_3$，则：
$\delta<0$ 的曲线为椭圆；$\delta>0$ 的曲线为虚椭圆；$\delta=0$ 的曲线退化为一点。
- 对双曲型二次曲线，简记 $\delta=I_3$，则：
$\delta \neq 0$ 的曲线为双曲线；$\delta=0$ 的曲线退化为一对相交直线。
- 对抛物型二次曲线，简记 $\delta=I_3$，则：
$\delta \neq 0$ 的曲线为抛物线；$\delta=0$ 的曲线退化。
对退化曲线，记 $K_1=\left|
\begin{matrix}
a_{11} &a_{13}\\
a_{13} &a_{33}
\end{matrix}
\right|+\left|
\begin{matrix}
a_{22} &a_{23}\\
a_{23} &a_{33}
\end{matrix}
\right|$ .
$K_1<0$ 的曲线为平行直线；$K_1>0$ 的曲线为虚平行直线；$K_1=0$ 的曲线退化为重合直线。
我们称 $\lambda^2-I_1\lambda+I_2=0$ 为**特征方程**，方程两根为**特征根**。
- 对中心曲线，它的简化方程为：
$$
\lambda_1 x^2+\lambda_2 y^2+\frac{I_3}{I_2}=0
$$
- 对无心曲线，它的简化方程为：
$$
I_1x^2 \pm 2\sqrt{-\frac{I_3}{I_1}}y=0
$$
- 对线心曲线，它的简化方程为：
$$
I_1x^2+\frac{K_1}{I_1}=0
$$