浅谈多普勒效应

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:::info[鸣谢]{open}

“多普勒效应”这个名字虽然听起来非常的高大上，但是却非常的难。

生活里很多物理现象，我们天天遇见，却很少去细想背后的道理。\ 多普勒效应就是其中之一。

一、生活现象

站在马路边上，听见鸣笛的救护车开过来，音调一下子变得尖锐；\ 等它开远，声音又迅速低沉下去。

不少人第一感觉是车开得快，喇叭振动就变快了。

大错特错。

实际上喇叭本身的振动频率自始至终没有任何变化，改变的只是我们听到的频率，这就是多普勒效应。

二、物理原理

波的传播离不开介质，拿声波举例，声速只由空气本身决定，和声源跑得多快并没有毛关系。

当声源朝着观测者运动，声源每完成一次振动，位置就向前挪了一段距离。\ 新产生的波面会被前面的波面挤压在一起，波长被压缩。\ 根据 v=\lambda f，波速不变，波长变短，接收频率就会升高。\ 反过来，声源远离我们，波面被拉开，波长变长，听到的音调也就更低。

不光声源移动会产生效果，观测者自己运动同样会改变接收频率。

如果你向着声源运动，单位时间内会撞上更多的波，频率升高；\ 远离声源，接收到的波变少，频率下降。

三、介质静止核心计算公式

多普勒效应——来自小时百科，可供读者一同参考。

设：

:::success[多普勒效应公式 - 介质静止]{open}

f=f_0\times \frac{v+v_o}{v-v_s}

:::

公式推导

**声源运动**会改变波长。\ 声源**朝向观测者运动**，一个周期内声源**向前移动** $v_s T_0$，相邻波峰间距被**压缩**。 $$ \lambda=vT_0-v_sT_0=(v-v_s)T_0 $$ **观测者运动**改变波的相对接收速度。\ 观测者**朝向声源运动**，波相对于观测者的速度为 $v_{\text{相对}}=v+v_o$。 接收频率就会等于**相对波速除以实际波长**。 $$ f=\frac{v_{\text{相对}}}{\lambda}=\frac{v+v_o}{(v-v_s)T_0}=f_0\frac{v+v_o}{v-v_s} $$ ## 四、介质运动核心计算公式 到了**竞赛题**里，就会**出现有风的情况**，某些大聪明会漏掉上面的**介质静止**的前提（~~比如我~~）。 风意味着空气介质**本身在运动**，直接套上面的公式，就会**直接算错**，所以只要稍微变化，就可以得出下面的公式。 - $u$ 为风速，**风由波源吹向观察者为正，反之为负**。 :::success[多普勒效应公式 - 介质运动]{open} $$ f=f_0\times \frac{(v+u)+v_o}{(v+u)-v_s} $$ ::: 处理这类题的稳妥办法，是算出**声源、观察者相对于空气的速度**，再代入公式计算。\ 之前做过的泛珠杯原题，不少人就是栽在这一步，直接硬套公式算了半天算了一个错的答案。 ### 公式推导 介质**对地**以速度 $u$ 运动，波**相对介质速度恒为** $v$，则波**相对地面传播速度**替换为 $v+u$。\ 用介质静止版本**全相同的推导**，把原式中介质内声速 $v$ 全部替换为 $v+u$，直接得到以上公式。\ 该式子只是介质静止的公式加了点料，**本质上没有毛改变**。 ## 五、音爆 [音爆——来自](https://wuli.wiki/online/ShoWav.html)**[小时百科](https://wuli.wiki/index.html)**，可供读者一同参考。 多普勒效应有一个极端情况：**声源的速度比声速还快**，也就是超音速。 ![](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/06qao4xr.png) 当声源速度 $v_s>v$，声源跑在了自己发出声波的前面。 声源发出的声波波面会在它后面被挤压，压成一坨**马赫锥**。 锥面大量声波能量挤成一坨，当这个锥面扫过观测者时，会听到一声巨响，这就是**音爆**。 :::success[马赫角公式]{open} $$ \sin\theta=\frac{1}{M} $$ $$ \quad M=\frac{v_s}{v} $$ ::: 里面的 $M=\dfrac{v_s}{v}$ 为马赫数； 按图片代入计算，得到图片上的马赫数 $M=2$，飞机飞行速度等于两倍音速。 ::::warning[注意]{open} 音爆并不是只有一声，**马赫锥锥面扫到哪里，哪里就可以听见爆响**，你可以尝试着跟着飞机跑，这样就可以听到持续的音爆，但是我不建议你这么干。 :::: 此时多普勒公式已经**不适用**，分母 $v-v_s<0$，公式变得**没有意义**。 ## 六、光学中的多普勒效应 [光的多普勒效应——来自](https://wuli.wiki/online/RelDop.html)**[小时百科](https://wuli.wiki/index.html)**，可供读者一同参考。 **不光声波，光也有多普勒效应。** 和机械波不一样，光**不需要介质**，只由两者的**速度**决定。 - 光源**靠近**，光谱向**短波**偏移，称为**蓝移**。 - 光源**远离**，光谱向**长波**偏移，称为**红移**。 举个栗子：天文学家观测到绝大多数星系光谱都存在红移，所以**说明这些星系正在远离我们**，由此推断**宇宙正在膨胀**。 谁能想到马路上救护车的现象，居然可以用来解释宇宙的问题。 ## 七、实际应用 现实中多普勒效应的应用十分广泛。 - 交警的测速雷达，依靠电磁波的频率偏移计算车速。 - 医院的彩超，利用超声波探测血液流动。 - 天文上依靠红移蓝移判断天体的运动状态。 从日常交通到医学检查，再到深空观测，都有多普勒效应的身影。 ## 八、常见雷点 这里有几个很容易踩的**雷**。 - 声源本身的频率**不会因为相对运动发生改变**，改变的只有**观测频率**。 - 机械波的波速**由介质决定**，**不受声源运动影响**。 - **有风的场景**不能直接套用静止介质公式。 - 机械波依赖介质，而光波不需要，**二者不能混为一谈**。 - 介质动的情况下先转换**介质参考系**，不要死记硬背公式，**风向转来转去符号容易出问题**。 - **音爆**不能套用以上公式。 ## 九、牛刀小试 ### 例题 $1

已知空气中声速 v=340\ \text{m/s}，风速 u=20\ \text{m/s}，风向由波源吹向观测者。\ 波源固有频率 f_0=1000\ \text{Hz}，波源保持静止，观测者以 v_o=34\ \text{m/s} 朝向波源运动，求观测者接收频率。

解析

本题属于介质运动类型，必须使用介质运动多普勒公式：

f=f_0\times \frac{(v+u)+v_o}{(v+u)-v_s}

已知条件：

代入计算：

f=f_0\times \frac{(v+u)+v_o}{(v+u)-v_s}=1000\times\frac{(340+20)+34}{(340+20)-0}=1000\times\frac{394}{360}\approx1094\ \text{Hz}

答案：1094\ \text{Hz}。

例题 2

无风环境下空气中声速 v=340\ \text{m/s}。\ 波源频率 f_0=510\ \text{Hz}，波源以 v_s=20\ \text{m/s} 靠近观测者，观测者以 v_o=10\ \text{m/s} 远离波源，求观测者接收频率。

解析

介质静止，使用对应的公式：

f=f_0\times \frac{v+v_o}{v-v_s}

符号判定：

代入得：

f=f_0\times \frac{v+v_o}{v-v_s}=510\times\frac{340-10}{340-20}=510\times\frac{330}{320}\approx 526\ \text{Hz}

答案：526\ \text{Hz}。

如果你把这几道题都掌握的熟练了，这说明你已经学会了多普勒效应。

十、整体总结

多普勒效应算不上多么高深的物理知识，但它连接了生活现象、考试题目与科学研究，也希望读者能够为祖国做出贡献。

我把笔记中的精华中的精华整理于此，看懂这些就可以理解大部分，希望能够对读者有所帮助。