关于五年级数学作业

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题目

在一张A4纸上设计出一个长方形展开图，使得长方形体积最大。

思路

拿到题目，我们发现题目难度超标与长方形体积有关（也许是废话），我们就用1/4/1展开图举例。因为标准A4纸为 210mm\times297mm ，所以只需推出体积 V 的表达式再推出最大值即可。

具体过程

我们有：

\begin{cases} V=abh\\ 2h+a=210\\ 2b+2h=297 \end{cases}

计算 a 与 b 的表达式：

\begin{cases} a=210-2h\\ b=148.5-h \end{cases}

根据前面的式子我们可以得到：

V=h\times(210-2h)\times(148.5-h) \\ V=2h^3-507h^2+31185

设其为一个函数：

f(h)=2h^3-507h^2+31185h

因为边不能为负，所以：

h\in \mathbb (0,105)

为了求最大值，我们对函数 f 求导：

f'(h)=6h^2-1014h+31185

计算 f'(h)=0 时 h 的值：

6h^2-1014h+31185=0\\ h=\frac{1014\pm\sqrt{(-1014)^2-4\times6\times31185}}{2\times6}\\ h=\frac{1014\pm\sqrt{279756}}{12}\\ h=\frac{1014\pm6\sqrt{7771}}{12}\\ h=\frac{169\pm\sqrt{7771}}{2}\\ h=84.5\pm\sqrt{1942.75}

又因 84.5+\sqrt{1942.75}>105 ，所以：

h=84.5-\sqrt{1942.75}

使用这个方法将其他的展开图都求一遍再求最大值即可。