惯性力

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so freaking hard.

极坐标系分解

对一点 P(r, \theta)，朝 \textbf r 延长方向设置径向方向矢量 \textbf e_r，朝逆时针方向设置与 \textbf e_r 垂直的横向方向矢量 \textbf e_\theta，\textbf e_r, \textbf e_\theta 便构成一组活动正交基矢，方向会随着 \theta 改变。在该平面上矢量 A 可分解成 A_r \textbf e_r+A_\theta \textbf e_\theta。则有：

\textbf r=r\textbf e_r \mathrm d\textbf e_r=\mathrm d\theta \textbf e_\theta, \mathrm d\textbf e_\theta=- d \theta \textbf e_r \textbf v=\frac{\mathrm d\textbf r}{\mathrm dt}= \frac{\mathrm d(r \textbf e_r)}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt} \textbf e_r+r \frac{\mathrm d \textbf e_r}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt} \textbf e_r+r\frac{\mathrm d \theta}{\mathrm dt} \textbf e_\theta

其中

\textbf v_r=\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}\textbf e_r, \textbf v_\theta=r\frac{\mathrm d \theta}{\mathrm dt}\textbf e_\theta

被称为径向速度和横向速度。

接下来考虑加速度。

\begin{aligned}\textbf a=&\frac{\mathrm d \textbf v}{\mathrm dt} =\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt} \textbf e_r\right)+\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(r\frac{\mathrm d \theta}{\mathrm dt}\textbf e_\theta\right) \\ =&\left(\frac{\mathrm d^2r}{\mathrm dt^2} \textbf e_r+\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt} \frac{\mathrm d\textbf e_r}{\mathrm dt}\right)+\left(\frac{\mathrm d r}{\mathrm dt} \frac{\mathrm d \theta}{\mathrm dt} \textbf e_\theta+r \frac{\mathrm d^2 \theta}{\mathrm dt^2} \textbf e_\theta+ r \frac{\mathrm d \theta}{\mathrm dt} \frac{\mathrm d \textbf e_\theta}{ \mathrm dt}\right) \\ =&\left(\frac{\mathrm d^2r}{\mathrm dt^2}-r \left(\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}\right)^2\right)\textbf e_r+\left(2 \frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}\frac{\mathrm d \theta}{\mathrm dt}+r\frac{\mathrm d^2 \theta}{\mathrm dt^2}\right)\textbf e_\theta \\ =&\textbf a_r+\textbf a_\theta\end{aligned}

两者分别称作径向加速度和横向加速度。

将 r=r(t), \theta=\theta(t) 中的 t 消去，可得极坐标系中的质点运动轨道方程 r=r(\theta)。

为便于描述极坐标系的旋转，将角位移、角速度、角加速度矢量化为 \bm \theta, \bm \omega, \bm \beta。

定义方向矢量 \bm k， 则定义 \bm \theta= \theta \bm k，\omega=\frac{\mathrm d \bm \theta}{ \mathrm dt}= \frac{\mathrm d \theta}{\mathrm dt} \bm k = \omega \bm k，\bm \beta = \beta\bm k。注意他们的单位不同，但都表示在同一条线上。

根据右手定则定义叉积 \times。则有

\mathrm d \bm R = \mathrm d \bm \theta \times \bm R \bm v = \bm \omega \times \bm R \bm a = \bm \beta \times \bm R + \bm \omega \times \bm v

根据方向可知，其中第一项为 \bm a_{\text{切}}，第二项为 \bm a_{\text{心}}。

惯性系

按照牛顿主义的观点，遵循牛顿三定律的参考系为惯性系，否则为非惯性系。可知相对惯性系做匀速直线运动的为惯性系，做加速运动的为非惯性系。存在除去所有物质的绝对空间-其为第一个惯性系，确立了其他所有惯性系。

运动是相对的，参考系之间的运动也是相对的。惯性系之间的关系是平等的，不存在绝对静止与匀速运动的二元性。但是惯性系与非惯性系之间的关系不是对称的。

在非惯性系中，第二定律不成立。因为在牛顿力学理论看来，力与质量是真实的，不随参考系改变。故需要引入假象的力 F_{\text{虚}}，使得 F'=F+F_{\text{虚}} 能够满足 F'=ma'，则可以将其视作惯性系处理。

*** 我们将非惯性系相对于惯性系做的加速运动分解为平动和转动。惯性力类别分别对应平移惯性力；惯性离心力、科里奥利力与切向惯性力。 ## 平移惯性力 设非惯性系 $S'$ 相对于惯性系 $S$ 作变速平动，加速度为 $a_0$，质点 $m$ 相对于 $S$ 的加速度为 $a$，则 $$F=ma$$ 质点 $m$ 相对 $S'$ 系的加速度为 $$a'=a+(-a_0)$$ 故引入平移惯性力 $F_i=m(-a_0)$，使得 $$F'=F+F_i, F'=ma'$$ ## 惯性离心力、科里奥利力与切向惯性力 非惯性系 $S'$ 以角速度 $\bm \omega$，角加速度 $\bm \beta$ 绕惯性系 $S$ 的 $z$ 轴匀速旋转，两系坐标原点 $O$ 重合。$z$ 轴重合。时间 $t$ 重合。 ![](https://s2.loli.net/2022/07/09/WpKL4Aaou91bHXj.png) 任一质点在极坐标系的量及其对时间的微分关系为 $$r=r', \theta = \theta' + \omega t$$ $$\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dr'}{\mathrm dt}, \frac{\mathrm d^2r}{\mathrm dt^2}=\frac{\mathrm d^2r'}{\mathrm dt^2}$$ $$\frac{\mathrm d \theta}{\mathrm dt} =\frac{\mathrm d \theta'}{\mathrm dt} + \omega, \frac{\mathrm d^2 \theta}{\mathrm dt^2} =\frac{\mathrm d^2 \theta'}{\mathrm dt^2}+\beta$$ 由于我们在描述同一个质点，故 $\bm e_r=\bm e_r', \bm e_\theta = \bm e_\theta'$。 质点在 $S'$ 中的速度、加速度为 $$v_r'=\frac{\mathrm dr'}{\mathrm dt}, v_\theta'=r'\frac{\mathrm d \theta'}{\mathrm dt}$$ $$a_r'=\left(\frac{\mathrm d^2r'}{\mathrm dt^2}-r' \left(\frac{\mathrm d\theta'}{\mathrm dt}\right)^2\right), a_\theta'=\left(2 \frac{\mathrm dr'}{\mathrm dt}\frac{\mathrm d \theta'}{\mathrm dt}+r\frac{\mathrm d^2 \theta'}{\mathrm dt^2}\right)$$ 我们将其代入 $a_r, a_\theta$ 得 $$\bm a_r=\left(\frac{\mathrm d^2r}{\mathrm dt^2}-r\left(\frac{\mathrm d \theta}{\mathrm dt}\right)^2\right)\bm e_r=\left(\frac{\mathrm d^2r'}{\mathrm dt^2}-r\left(\frac{\mathrm d \theta'}{\mathrm dt}+\omega\right)^2\right)\bm e_r'=\bm a_r'-2 \bm v_\theta' \times \bm \omega-\omega^2 \bm r'$$ $$\bm a_\theta= \left(2 \frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}\frac{\mathrm d \theta}{\mathrm dt}+r\frac{\mathrm d^2 \theta}{\mathrm dt^2}\right)\bm e_\theta=\left(2 \frac{\mathrm dr'}{\mathrm dt}\left(\frac{\mathrm d \theta'}{\mathrm dt} + \omega\right)+r\left(\frac{\mathrm d^2 \theta'}{\mathrm dt^2}+\beta\right)\right)\bm e_\theta'=\bm a_\theta'-2 \bm v_r'\times \bm \omega-\bm r' \times \bm \beta$$ 那么 $$m(\bm a_r'+\bm a_\theta')=m(\bm a_r+\bm a_\theta)+m \omega^2 \bm r'+2m \bm v' \times \bm\omega+ m \bm r' \times \bm \beta$$ $$\bm F=m(\bm a_r+\bm a_\theta)$$ 为满足 $\bm F'=m(\bm a'_r+\bm a'_\theta)$，引入与位置有关的惯性离心力、与速度有关的科里奥利力和与和角加速度有关的切向惯性力。 $$\bm F_c=m \omega^2 \bm r'$$ $$\bm F_{\textrm{Cor}}=2m\bm v' \times \bm \omega$$ $$\bm F_t=m \bm r' \times \bm\beta$$