高中数学笔记 - 立体几何 & 空间向量

liuhaopeng · 2024-12-23 20:31:31 · 学习·文化课

数学笔记全文

修订

立体几何

弧度制与面积计算

• 360\degree=2\pi\ \text{rad},\ 180\degree=\pi\ \text{rad}
• 1\degree=\frac{\pi}{180}\ \text{rad}\approx0.01745\ \text{rad},1\ \text{rad}=(\frac{180}{\pi})\degree\approx 57.29578\degree
• x\degree=\frac{x\pi}{180}\ \text{rad},x \ \text{rad}=(\frac{180x}{\pi})\degree

• 圆心角大小（ 弧度 ） |\alpha|=\frac{l}{r}\ \ \ \ \text{} 圆心角大小（ 角度 ） n=\frac{180\cdot l}{r\pi}

• 弧长 l=\alpha r，周长 C=2r+l，面积 S=\frac{1}{2}\alpha r^2=\frac{1}{2}lr

基本立体图形

• 共性：都具有顶点、底面、侧面、侧棱（ 相邻侧面的公共边 ）。

• 棱柱：有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都相互平行。底面是 n 边形就叫 n 棱柱。斜高：侧面的高。

  侧棱垂直于底面的柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜柱。底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体。

  \set{正方体}\in\set{正四棱柱}\in\set{长方体}\in\set{直四棱柱}

• 棱锥：三棱锥又叫四面体（ 即由四个面组成的封闭图形只能是三棱锥 ），底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥。

  正三棱锥 / 正四面体的三条对棱两两垂直。

• 棱台：棱锥上部通过平行于底面的面截取上部且上下底面平行。

• 圆柱 / 圆锥 / 圆台：旋转轴称为它的轴，平行于轴的边叫做它侧面的母线。

• 欧拉公式：V-E+F=2，即 顶点数 - 棱数 + 面数 =2。

  对于正 n 面体（ n 个等边三角形 ），面数为 n，棱数为 \frac{3}{2}n（ 每个面 3 条棱，每条棱分属 2 个面 ）。

立体图形的直观图

• 斜二测画法

• S_{直}=\frac{\sqrt{2}}{4}S_{原},S_{原}=2\sqrt{2}S_{直}

简单几何体的表面积和体积

下表中 r 为底面半径，l 为母线长，h 为高，C 为底面周长；特别地，台体 S 与 S' 分别代表上下底面面积，r 与 r' 同理。\\ 棱锥侧面积计算公式中，a 代表底面边长，h' 为斜高。棱台侧面积计算公式中，C'',C' 分别代表上下底面周长，h'' 代表斜高。

• 祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。

• 画展开图类问题：绳绕棱锥 / 圆锥，先求出展开图圆心角的度数（ 大概率 90\degree ）

  例 1：在正四棱锥 O-ABCD 中，侧棱长均为 4，且相邻两条侧棱的夹角为 30\degree，E,F 分别为线段 OB,OC 上的一点，则 AE+EF+FD 的最小值为 ？（ 4\sqrt{2} ）

  例 2：一个圆台的上、下底面半径分别为 5,10，母线 AB=20，从圆台母线 AB 的中点 M 拉一条绳子绕圆台侧面转到 A，求绳子的最短长度（ 50 ）和上底面圆周上的点到绳子的最短距离（ 4 ）。

• 射影问题：三棱锥 P-ABC 中，O 为 P 在平面 ABC 内的射影，则：

球与几何体的外接、内切问题

• 外接球：多面体 / 旋转体的顶点均在球面上，球心到各个顶点的距离相等，球心在旋转轴上。

  注意 球心可能在几何体外。

• 内切球：多面体 / 旋转体的各面均与球面相切，球心到各面的距离相等，球心在旋转轴上。

  利用等体积法求半径（ V=\frac{1}{3}S_表 r ），再求每个面面积，最后 \boxed{各个棱锥的体积之和 = 多面体体积}\implies 内切球半径。

  例 1：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度均为 2，则三棱锥外接球半径 R=\frac{\sqrt{2^2+2^2+2^2}}{2}=\sqrt{3}。

  例 2：若三棱锥 P-ABC 的三条侧棱两两垂直，AB=\sqrt{5},BC=\sqrt{7},AC=2，则此三棱锥的外接球的体积为 ？

  2R=\sqrt{PA^2+PB^2+PC^2}=\sqrt{\frac{1}{2}(AC^2+AB^2+BC^2)}=2\sqrt{2},R=\sqrt{2},V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{8\sqrt{2}}{3}\pi

• 球内接正三棱锥的体积最大值 = 球内接正四面体的体积。

  球内接正四棱锥的体积最大值 = 一个底面边长 = 高的正四棱锥的体积。

• 若某一几何体的表面积为 S，体积为 V，内切球半径为 r，则满足 V=\frac{1}{3}Sr。

• 将四面体补形成长方体的条件（ 满足其中之一即可 ）：

  1. 有三条棱两两垂直。
  2. 四个面均是直角三角形。
  3. 正四面体 P-ABC 可以补形成正方体且棱长 a=\frac{PA}{\sqrt{2}}。
  4. 三组对棱分别相等，长度记为 x,y,z，长方体边长记为 a,b,c，则 \begin{cases} x=\sqrt{a^2+b^2} \\ y=\sqrt{b^2+c^2} \\ z=\sqrt{a^2+c^2} \end{cases}

空间点、直线、平面之间的关系

• 平面的表示：用横向 / 竖向的平行四边形表示，书写方法：平面 \alpha,\beta,\gamma\dots 或 平面 ABCD，平面 AC,BD。

四个基本事实与三个推论

• 基本事实

  1. 过不在 同一直线上 的三个点，有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面。

     一条直线与直线外一点也能确定一个平面。

     在同一平面内，n 条直线最多把平面划分为 1+\frac{n(n-1)}{2} 份；在空间内，n 个平面最多把空间分为 \frac{n^3+5n+6}{6} 份。

     相交于同一点的 n 条直线最多可以确定 \begin{cases}\frac{n(n-1)}{2}\ 个平面 & 任意\ 3\ 条不共面 \\ \frac{(n-3)(n-4)}{2}\ 个平面 & 有\ 3\ 条不共面 \end{cases}

  2. 如果一条直线上的两个点在同一平面内，那么这条直线在这个平面内。即：

     直线 l 在 \alpha 内 \xLeftrightarrow{}l\subset\alpha\ \ \ \ \text{} 直线 l 不在 \alpha 内 \xLeftrightarrow{}l\not\subset\alpha

     基本事实 2 用符号表示为：A\in l,B\in l 且 A\in\alpha,B\in\alpha\implies l\subset\alpha

  3. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

     平面 \alpha 与 \beta 相交于直线 l，记作 \alpha\bigcap\beta=l。

     基本事实 3 用符号表示为：P\in\alpha 且 P\in\beta\implies\alpha\bigcap\beta=l 且 P\in l

  4. 平行于同一条直线的两条直线平行。（ 平行线的传递性 ）

  注意表示 点 在 直线 / 平面 内用 \in，表示 直线 在 平面 内用 \subset。

• 推论（ 基本事实 1 + 2 + 两点确定一条直线 ）

  1. 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
  2. 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
  3. 经过两条平行直线，有且只有一个平面。

空间点、直线、平面之间的位置关系

证明共面、共线、共点

1. 证明点、线共面：证明直线平行 / 相交；确定一个辅助平面；反证法。
2. 证明三点共线：先找 2 个平面，证明这 3 点都是 2 个平面公共点 / 其中 2 点确定 1 条直线，证另一点也在直线上。
3. 证明三线共点：先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这个点或交点在第三条直线上。

注意梯形两腰必交于一点；在空间中，不能用两组对边分别相等证明平行四边形。

例题：已知正方体 ABCD-A_1B_1C_1D_1，M,N 为棱 A_1B_1,B_1C_1 中点，求证：\\ \ \ \ \ \ (1) 直线 AM,CN 共面； \\ \ \ \ \ \ (2) 直线 D_1B 和 CC_1 是异面直线。

3. 直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。

   用符号表示：a//\alpha,\alpha\bigcap\beta=b,a\subset\beta\implies a//b

4. 平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的 两条相交直线 与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

   用符号表示：a\subset\beta,b\subset\beta,a\bigcap b=P,a//\alpha,b//\alpha\implies\alpha//\beta

5. 平面与平面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行。

   用符号表示：\alpha//\beta,\alpha\bigcap\gamma=a,\beta\bigcap\gamma=b\implies a//b

可简记为：线线平行 \xLeftrightarrow{} 线面平行 \implies 面面平行 \implies 线线平行，恰好形成一个循环。

空间直线、平面的垂直

• 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的 两条相交直线 垂直，那么该直线与此平面垂直。

  用符号表示：m\subset\alpha,n\subset\alpha,m\bigcap n=P,l\perp m,l\perp n\implies l\perp\alpha

• 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两直线平行。

• 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。

  用符号表示：a\subset\alpha,a\perp\beta\implies\alpha\perp\beta

• 平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。

空间直线、平面的平行

1. 三棱锥 P-ABC 中，D,E 分别是 PB,BC 中点，点 F 在线段 AC 上，且满足 AD // 平面 PEF，则 \frac{AF}{FC}=\ ?

   解析：连接 CD，交 PE 于点 G，连接 FG，如图所示。

   AD //$ 平面 $PEF$， 平面 $PEF\ \cap$ 平面 $ADC=FG\implies AD // FG

2. 长方体 ABCD-A_1B_1C_1D_1,AB=BC,E 是 AB 上靠近 B 的三等分点，F 是 A_1D_1 中点，\\ O 为直线 DB_1 与平面 EFC 交点，\frac{DO}{OB_1}=\ ?

   解析：连接 BD,B_1D_1,BD \cap CE=M，\\ 设平面 CEF 与平面 A_1B_1C_1D_1 的交线交 C_1D_1,B_1D_1,A_1B_1 分别于点 P,N,Q，如图所示。

   CE // PQ \implies \angle PFD_1=\angle BCE \implies \mathrm{Rt}\Delta PFD_1 \backsim \mathrm{Rt}\Delta ECB,\frac{PD_1}{FD_1}=\frac{EB}{BC}=\frac{1}{3} QA_1=PD_1=\frac{1}{3}FD_1=\frac{1}{6}A_1B_1\implies\frac{B_1N}{ND_1}=\frac{B_1Q}{PD_1}=7 \frac{DM}{MB}=\frac{DC}{EB}=3\implies DM=\frac{3}{4}BD\implies\frac{DO}{OB_1}=\frac{DM}{NB_1}=\frac{6}{7}

3. 四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，E 是 PD 上一点满足 PE=3ED，\\ 若 \overrightarrow{PF}=\lambda\overrightarrow{PC} 且 BF// 平面 AEC，则 \lambda= ？

   解析：连接 BD 交 AC 于点 O，连接 OE，在 PD 上取一点 G 使得 GE=ED。

   在 \Delta BGD 中 EO 为其中位线 \implies BG// 平面 AEC\implies 平面 BFG\ // 平面 AEC。

   \frac{PF}{FC}=\frac{PG}{GE}=2,\lambda=\frac{2}{3}

4. 在长方体 ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AD=DD_1=1,AB=\sqrt{3},E,F,G 分别是 AB,BC,C_1D_1 的中点，点 P 在平面 ABCD 内，若直线 D_1P\ // 平面 EFG，则点 D_1 与满足题意的点 P 构成的平面截长方体所得的截面的面积为 ？

   解析：

   只需证明点 D_1 与满足题意的点 P 构成的平面 D_1AC 平行于平面 EFG 即可，答案即为 S_{\Delta D_1AC}=\frac{\sqrt{7}}{2}。

5. 如图，三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 中，D 是 B_1C_1 中点，E 是 A_1C_1 上一点满足 A_1B// 平面 B_1DE，\frac{A_1E}{EC_1}=\ ?

   解析：连接 BC_1 交 B_1D 于 F，易证 \Delta A_1BC_1 \backsim \Delta EFC_1,\frac{A_1E}{EC_1}=\frac{BF}{FC_1}=\frac{BD}{B_1C}=\frac{1}{2}。

空间直线、平面的垂直

1. 如图，P 是 \Delta ABC 所在平面外一点，PA\perp 平面 ABC,\angle ABC=90\degree,AE\perp PB 于 E,AF\perp PC 于 F.\\ 求证：(1)\ BC\perp 平面 PAB \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ AE\perp 平面 PBC \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)\ PC\perp 平面 AEF

   解析：(1)\ \angle ABC=90\degree\implies BC\perp AB\ \ \ \ \ \ \ PA\perp 平面 ABC\implies BC\perp PA\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ BC\perp 平面 PAB\implies AE\perp BC\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)\ AE\perp 平面 PBC\implies PC\perp AE

定理 & 二级结论

• 三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面外的一条斜线在该平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

  逆定理：如果平面内一直线和这个平面外的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。

• 空间第一余弦定理：如图，AE\perp BC,DF\perp BC，则二面角 A-BC-D 的大小 \theta 满足

  \cos\theta=\frac{AE^2+EF^2+FD^2-AD^2}{2AE\cdot FD}

• 空间第二余弦定理：空间中两直线 AB,CD 的夹角 \theta 满足 \cos\theta=\frac{|AD^2+BC^2-AC^2-BD^2|}{2AB\cdot CD}

  证明：\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}\cdot(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AD}|\cos\angle_{CAD}-|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|\cos\angle_{CAB}=AC\cdot AD\cdot \frac{AC^2+AD^2-CD^2}{2AC\cdot AD}-AC\cdot AB\cdot\frac{AC^2+AB^2-BC^2}{2AC\cdot AB}=\frac{AD^2+CB^2-AB^2-CD^2}{2}

• 三面角公式求二面角：已知 \angle_{APB}=\theta_1,\angle_{BPC}=\theta_2,\angle_{APC}=\theta_3，则二面角 A-PB-C 的余弦值为

  \cos\theta=\frac{\cos\theta_3-\cos\theta_1\cos\theta_2}{\sin\theta_1\sin\theta_2}=\frac{\cos\angle_{APC}-\cos\angle_{APB}\cdot\cos\angle_{BPC} }{\sin\angle_{APB}\cdot\sin\angle_{BPC} }

  注意三个角度在公式中分布特点，\theta_3 是二面角 A-PB-C 的对角，而 \theta_1,\theta_2 就是二面角 A-PB-C 的两个邻角

• 三正弦定理：二面角 M-AB-N 的度数为 \alpha，平面 M 上有一射线 AC 与 AB 所成角为 \beta，与平面 N 所成角为 \gamma，则 \sin\gamma=\sin\alpha\sin\beta。

• 三余弦定理 / 最小角定理：设 A 为平面 \alpha 上一点，过点 A 的斜线 AO 在平面 \alpha 上的射影为 AB，AC 为平面 \alpha 内的一条直线，那么有 \cos\angle OAC=\cos\angle BAC\times\cos\angle OAB。

证明：\cos\angle OAC=\frac{AC}{AO}\ \ \ \ \cos\angle BAC=\frac{AC}{AB}\ \ \ \ \cos\angle OAB=\frac{AB}{AO}

即斜线与射影所成的角是斜线与平面内的任何直线所成的角中最小的角。

• 异面直线段 AB=a,CD=b，它们之间的距离为 d，夹角为 \theta，则 V_{A-BCD}=\frac{1}{6}abd\sin\theta。

• 面积余弦定理：\Delta ABC 在平面 \alpha 内的射影为 \Delta ABO，记 \Delta ABC 所在平面与 \alpha 所称的锐二面角为 \theta，则 S_{\Delta ABO}=\cos\theta S_{\Delta ABC}。

翻折问题

• 不在同一平面的两点路径问题的翻折只能以折点所在直线翻折。

例：长方体 ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=1,AD=2,AA_1=3,P 是线段 B_1C 上一动点，求 AP+PD_1 的最小值 ？

画出直观图后，应将平面 AB_1C 和平面 B_1CD_1 翻折到同一平面上，显然 AB_1D_1C 是平行四边形。

根据平行四边形中对角线平分和 = 四条边平方和可得 (AP+PD_1)_{\min}=AD_1=\sqrt{17}。

• 注意分类讨论

例：直三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 中，E,F 分别为 AA_1,C_1B_1 的中点，沿棱柱的表面从 E 到 F 两点的最短路径的长度是 ？

分三类讨论：

1. 沿 BB_1 展开，算得 EF=\frac{\sqrt{22}}{2}。
2. 沿 A_1C_1 展开，算得 EF=\frac{3\sqrt{2}}{2}。
3. 沿 A_1B_1 展开，算得 EF=\sqrt{\frac{7}{2}+\sqrt{2}}。

于是 EF_{\min}=\frac{3\sqrt{2}}{2}。

截面问题

1. 求过圆锥顶点的截面面积最大值：记轴截面顶角为 \theta，\sin\theta=\frac{r}{l} \begin{cases}\theta>\frac{\pi}{2},S_{\max}=\frac{1}{2}l^2\sin\theta\implies\frac{1}{2}l^2 \\ \theta\leq\frac{\pi}{2},S_{\max}=\ 轴截面面积 \end{cases}

2. 正方体棱长为 1，每条棱所在直线与平面 \alpha 所称角相等，则 \alpha 截此正方体所得截面面积最大值 ？

注意正方体截面可以是 3,4,5,6 边形，最大面积是 \frac{3\sqrt{3}}{4}。

例题：在棱长为 2 的正方体 ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，E 为棱 AA_1 中点，点 F 在 A_1B_1 上且满足 \overrightarrow{A_1F}=\lambda\overrightarrow{A_1B_1}，以下正确的有（ \text{ACD} ）

2. 点面距 / 线面距 / 面面距 —— 求点 A 到平面 BCD 的距离。

   1. 等体积法，V_{A-BCD}=V_{B-ACD}=V_{C-ABD}=V_{D-ABC}
   2. 求平面 BCD 的法向量 \overrightarrow{n},d=\frac{|\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}
   3. A(x_0,y_0,z_0)$，平面的解析式 $Ax+By+Cz+D=0,d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

3. 线线角 —— 求 AB,CD 夹角 \theta

   1. 求出它们的方向向量 \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}，则 \cos\theta=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{CD}|}=\frac{|\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|}
   2. 空间第二余弦定理 \cos\theta=\frac{|AD^2+BC^2-AC^2-BD^2|}{2AB\cdot CD}

4. 线面角 —— \sin\theta=\frac{|\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{n}|} ，较难做的题目亦可用等体积法。

5. 二面角 —— \cos\theta=\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}

向量叉乘

• 若 \overrightarrow{a}=a_x\overrightarrow{i}+a_y\overrightarrow{j}+a_z\overrightarrow{k}，\overrightarrow{b}=b_x\overrightarrow{i}+b_y\overrightarrow{j}+b_z\overrightarrow{k}，则 \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}

叉乘的结果是向量，该向量的模值与 \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} 构成的平行四边形面积相等，即 |\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}||\sin\theta|=x_1y_2-x_2y_1。

该向量的方向垂直于 \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} 构成的平面，用右手螺旋性质确定。

运算特性：\begin{cases} \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a} \\ \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c} \\ (\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\times\overrightarrow{c}=(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c})\overrightarrow{b}-(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c})\overrightarrow{a} \end{cases}