ζ(2n) 的公式是怎么来的？

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今天拿起好久没看过的《具体数学》，发现了这个东西的相关资料，就来简单证明一下。（不过用的方法和书上的有许多不同）

问题的解法源于 x\cot x 的展开式，有一个很自然的想法是展开为关于 x 的幂级数。由著名的欧拉公式有：

x\cot x = \text ix\frac{\text e^{\text ix}+\text e^{-\text ix}}{\text e^{\text ix}-\text e^{-\text ix}}=\text i x\coth\text ix

而 \coth x 的展开就需要用到 Bernoulli 数的生成函数：

\frac{x}{\text e^x-1}+\frac x2=\frac{x}{2} \frac{\text e^x+1}{\text e^x-1}=\frac x2 \frac{\text e^{x/2}+\text e^{-x/2}}{\text e^{x/2}-\text e^{x/2}}=\frac x2 \coth \frac x2

这里的 +\dfrac x2 的作用就是让其 x^n 系数为零，当且仅当 n 是奇数。由此得到 x\coth x 的展开式，进一步得到 x\cot x 的展开式：

x\coth x=\frac{}{}\sum_{n=0}^\infty B_{2n}\frac{(2x)^{2n}}{2n!}=\sum_{n=0}^\infty 4^nB_{2n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} x\cot x = \sum_{n=0}^\infty (-4)^nB_{2n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}

可以看到，由于给 Bernoulli 数的生成函数加了个 \dfrac x2，等式右边就可以直接忽略奇数项的值了。

另一种展开的想法是分式分解，这需要用到 \sin 的连乘展开式。这不过是找来了 \sin x 的所有零点，在此不做详细证明。

\sin x = x\prod_{k=1}^\infty\left( 1-\frac{x^2}{k^2\pi^2}\right)

现在 \cot x 可以由分式分解写为如下形式：

\cot x = \frac cx+\sum_{k=1}^\infty \frac{f_k(x)}{1-x^2/(k^2\pi^2)}

其中 f_k(x) 为低于二次的多项式。

而要求 $f_k(x)$ 的系数，尝试把分式全部通分，发现除了第 $k$ 项，其它项中的分子都可以被 $(1-x^2/(k^2\pi^2))$ 整除，这就引出了 $$\cos x \bmod (1-x^2/(k^2\pi^2))=\frac{f_k(x) \sin x}{1-x^2/(k^2\pi^2)}$$ 根据一个简单的引理，$f(x) \bmod g(x)$ 在 $g(x)$ 各零点处的取值和 $f(x)$ 相同。那么取极限 $$f_k(k\pi)\lim_{x\to k\pi} \frac{\sin x}{1-x^2/(k^2\pi^2)}=\cos(k\pi)=(-1)^k$$ $$f_k(k\pi) \lim_{x\to k\pi}\frac{\cos x}{-2x/(k^2\pi^2)}=(-1)^k$$ $$f_k(k\pi) \frac{(-1)^k}{-2/(k\pi)}=(-1)^k$$ $$f(k\pi) = -\frac{2}{k\pi}$$ 类似地也可以得到 $f(-k\pi)=\dfrac{2}{k \pi}$，于是得到了所有 $f_k(x)$： $$f_k(x)=-\frac{2x}{k^2 \pi^2}$$ 因此 $$x\cot x = 1 - \sum_{k=1}^\infty \frac{2x^2}{k^2\pi^2-x^2}$$ 这个结果看成是幂级数的关系也是成立的，现在将其分式展开 $$x\cot x = 1-\sum_{k=1}^\infty \frac{2x^2}{k^2\pi^2}\sum_{n=0}^\infty \left( \frac{x^2}{k^2\pi^2}\right)^n$$ $$=1-\sum_{n=0}^\infty 2x^{2(n+1)}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(k^2\pi^2)^{n+1}}$$ $$=1-\sum_{n=1}^\infty \frac{2x^{2n}}{\pi^{2n}}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{2n}}$$ 联立两次得到的 $x\cot x$ 展开式，得到 $x^{2n}$（$n \geq 1$）项系数的关系： $$-\frac{2}{\pi^{2n}}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{2n}}=\frac{(-4)^nB_{2n}}{(2n)!}$$ $$\zeta(2n)=-\frac{(-4)^n \pi^{2n}B_{2n}}{2(2n)!}$$ 由于 $\zeta(2n)$ 一定是正数，这个公式可以化简为 $$\zeta(2n)=\frac{(2\pi)^{2n}|B_{2n}|}{2(2n)!}$$ 这个推导过程也很有趣，$\zeta$ 函数的研究主要在数论、复分析等领域。而我们只用了幂级数和一点高数的知识，就证明了这个令人惊叹的结果。 ps：这个公式最早也是欧拉给出的。