一种端点效应问题的处理方法

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一种端点效应问题的处理方法

本文介绍一种不使用保号性原理求解端点效应问题的方法。

端点效应

给出约束 \forall x\ge 0,f(x)\ge 0 与 f(x)=0，一定有 f'(x)\ge 0。

证明：考虑若不如此，则由导数的定义，

但是由于高中数学并未明确给出极限的定义，这种书写方式可能不会很严谨。 ## 保参放缩 以一道高考题为例： > （2022新高考Ⅱ卷）已知 $f(x)=xe^{ax}-e^x$，求 $\forall x>0,f(x)<-1$ 成立时 $a$ 的取值范围。

f'(x)=(1+ax)e^{ax}-e^x,f''(x)=(2a+a^2x)e^{ax}-e^x

容易得到端点效应给出的参数 $a$ 的范围 $a\le {\frac 1 2}$。接下来分类讨论即可。 当 $a\le \frac 1 2$ 时，考虑原函数 $f(x)\le xe^{\frac x 2}-e^x$，借助不等式 $e^x-e^{-x}\ge 2x$ 容易证明。 当 $a>\frac 1 2$ 时，考虑在保留 $f''(0)=2a-1$ 的前提下对 $f''(x)$ 进行放缩。 $$ f''(x)=(2a+a^2x)e^{ax}-e^x\ge 2ae^{ax}-e^x\ge 2a-e^x

令 2a-e^x>0 得到 x\in (0,\ln {2a})，此时 f''(x)>0，回推一阶导与原函数就得到 f(x)>-1 的矛盾。

由此，我们认识到求解保号性问题的实质：寻找一个区间使得该区间导函数恒正。通常方法是求导判断单调性。但我们若应用放缩的知识可以快速得到答案。而放缩的依据就在于要使得 x=0 的导函数值恒不变，此时放缩一定能产生结果。

另外，有些题目的放缩不一定能够直接得到可解的不等式，我们采取先放缩至最简形式，再求导判断放缩式单调性的方法解题。

（2023全国甲卷） 已知 ax-\frac {\sin x}{\cos^3 x}<\sin 2x,x\in(0,\frac {\pi} 2) 恒成立，求 a 的取值范围。

f(x):=ax-\frac {\sin x}{\cos^3 x}-\sin2x,f'(x)=a-\cos^{-2}x-3\sin^2x\cos^{-4}x-2\cos 2x f'(0)=a-3\le 0$ 得到 $a\le 3

当 a\le 3 时，f'(x)\le -\frac {(1-\cos^2x)^2(4\cos^2x+3)}{\cos^4x}\le 0，于是 f(x)<f(0)=0

当 a>3 时，f'(x)>a-1-3sin^2x-2，令 a-3-3sin^2x>0 得到 \sin x<\sqrt{\frac {a-3}{3}}，此时反推不合题意。

总结

这种放缩思想不仅在端点效应中有用处，在处理类似2023新高考Ⅱ卷等复杂放缩问题时也有用处。