比萨斜塔的倾角

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点面距离

点面距离

过平面外一点作平面的垂线，该点与垂足之间的距离称为点到平面的距离。求空间距离时，可以直接作出垂线段，去计算长度，也可以构造某个几何体，使得所求距离为该几何体的某面上的高，利用体积转化求点面距离。

异面直线间的距离

异面直线的公垂线

和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条异面直线的交点间的线段称为这两条异面直线的公垂线段。对于异面直线我们有结论：

公垂线存在唯一性

两条异面直线的公垂线存在且唯一。

因为公垂线存在且唯一，可定义公垂线段的长度为两条异面直线的距离。两条异面直线间的距离是连结两条异面直线上的点所形成的无数线段中最短的一条。

异面直线的距离公式

对于两条异面直线a,b，AB是它的公垂线段，且A,C\in a,B,D\in b，有AC=m,BD=n,CD=l，且异面直线AC,BD所成角为\theta，则有

d=AB=\sqrt{l^2-m^2-n^2\pm2mn\cos\theta}

当\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}所成角为\theta时取加号，当\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}所成角为\pi-\theta时取减号。

异面直线的距离求法

$2.$构造公垂线，计算长度； $3.$构造两个平行平面，转化成求线面距离或两个平行平面之间的距离。 ## 异面直线所成的角 ### 异面直线所成角的概念 对于两条异面直线$a,b$，过空间任一点$O$作直线$a'\parallel a$，$b'\parallel b$，我们把$a',b'$所成的锐角或直角称为异面直线$a,b$所成的角（或夹角），异面直线所成角的定义是由等角定理保证的。异面直线所成角的范围是$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right]$，当异面直线所成角为$\dfrac{\pi}{2}$时，称这两条异面直线互相垂直。 ### 异面直线所成角的求法 求两条异面直线所成的角，通常是选择合适的点，将其中一条或两条直线进行平移，转化成平面角去求解，也可以通过建立空间直角坐标系，借助于空间向量直接计算。 ## 线面角 ### 线面角的定义 当一条直线与一个平面相交但不垂直时，这条直线称为**平面的斜线**，斜线与平面的交点$A$称为**斜足**，过斜线上斜足外的一点$P$向平面$\alpha$引垂线$PO$，过垂足$O$与斜足$A$的直线$AO$称为**斜线在这个平面上的射影**，平面的一条斜线与它的平面上的射影所成的锐角，叫做**这条直线和这个平面所成的角**，当一条直线与平面垂直时，我们称它们所成的角是直角；当一条直线在平面内或者平行于平面，我们称它们所成的角是零角。所以，线面角的取值范围是$\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$。 ### 线面角为最小角 斜线与平面所成的角是这条斜线与平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 ## 二面角 ### 二面角的概念 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做**二面角**，这条直线称为**二面角的棱**，这两个半平面叫做二面角的面。棱为$AB$，面分别为$\alpha,\beta$的二面角记作二面角$\alpha-AB-\beta$。在二面角的棱$l$上任取一点$O$，以点$O$为垂足，在两个半平面内分别作射线$OM,ON$垂直于$l$，得到的$\angle MON$叫做**二面角的平面角**。二面角的大小用它的平面角来度量，当一个二面角都是直二面角。二面角的取值范围是$[0,\pi]$，两个相交平面所成的角定义为这两个平面所形成的四个二面角中的锐角或直角，所以两个平面所成角的取值范围通常规定为$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right]$。 ### 利用三垂线定理作二面角 利用三垂线定理去作二面角$\alpha-l-\beta$的平面角的步骤： 过$\alpha$平面内不在$l$上的任一点$A$作$AH\perp\beta$，垂足为$H$，过$H$在$\beta$平面内作$HO\perp l$，垂足为$O$，连结$AO$，则$\angle AOH$即为二面角的平面角。 ### 利用面积射影定理求二面角 在二面角的其中一个平面内找到一个多边形，作出多边形在另一个平面内的射影多边形，则射影多边形的面积与原多边形的面积之比即为二面角的余弦值，从而求得二面角的大小。 p.s.因为图库还没有好，所以这次还是没有图~~别打我，写文章不易~~ 好，今天我们就聊到这里。