数列的极限

· · 个人记录

说在前面的话

这一章的内容是大家初学高数时都比较头疼的主题----极限。请拾起你的信心，和我一起学习这节内容，相信对于你理解数列极限会有很大的帮助。请耐心“品”完这节内容，以你的聪明才智肯定能搞定它。不过，如果你真正理解后不要急着离开，请再仔细过目一两遍，因为第一遍只是理解，第二遍第三遍甚至更多遍才能使你把极限定义的本质牢记于心！时隔多日你可能会生疏，那时最好再回过头来看看。希望大家看到支持我一下，记得关注我呦，让我们共同努力吧！虽然现在学业很忙，但是我会持续更新的呦~

1. 数列极限的定义

$\quad$ 设有一个圆，首先在园的里面放上一个正六边形，把正六边形的面积记作 $A_1$；再放一个正十二边形，再将面积记作 $A_2$；再放一个正二十四边形，把它的面积记作 $A_3$；以此类推，每次边数加倍，一般地，把正 $6\times 2^{n-1}$ 边形的面积记作 $A_n(n\in N_+)$。这样，就得到一系列正多边形的面积 $$A_1,A_2,A_3,...,A_n,...,$$ 它们构成一列有次序的数。当 $n$ 越大，~~鱼越贵~~，正多边形与圆的差别就越小，从而以 $A_n$ 作为圆面积的近似值也就越精确。但是无论 $n$ 取得如何大，只要 $n$ 取定了， $A_n$ 终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积。因此，设想 $n$ 无限增大（记作 $n\to\infty$，读作 $n$ 趋于无穷大），即正多边形的变数无限增加，在这个过程中，正多边形无限接近于圆，同时 $A_n$ 也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值也就理解为圆的面积。这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓**数列**）$A_1,A_2,A_3,...,A_n,...$ 当 $n\to\infty$ 时的**极限**。在圆的面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积。 $\quad$ 在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高数的一种基本方法，因此有必要做进一步的阐明。 $\quad$ 先说明数列的概念。如果按某一法则，对每个 $n\in N_+$，对应着一个确定的实数 $x_n$，这些实数 $x_n$ 按照下标 $n$ 从小到大排列得到的一个序列 $$x_1,x_2,x_3,...,x_n,...,$$ 就叫做**数列**，简记为 $\{x_n\}$. $\quad$ 数列中的每一个数叫做数列的**项**，第 $n$ 项 $x_n$ 叫做数列的**一般项**（或**通项**）。例如： $$\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{4}{3},...,\frac{n}{n+1},...;$$ $$2,4,8,...,2^n,...;$$ $$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},...,\frac{1}{2^n},...;$$ $$1,-1,1,-1,...,(-1)^{n+1},...;$$ $$2,\frac{1}{2},\frac{4}{3},...,\frac{n+(-1)^{n-1}}{n},...$$ 都是数列的例子，它们的一般项依次为 $$\frac{n}{n+1},2^n,\frac{1}{2^n},(-1)^{n+1},\frac{n+(-1)^{n-1}}{n}.$$ $\quad$ 在几何上，数列 $\{x_n\}$ 可看做数轴上的一个动点，它一次取数轴上的点 $x_1,x_2,x_3,..,x_n,...

$$x_n=f(n),n\in N_+$$ 当自变量 $n$ 依次取 $1,2,3...$ 一切正整数时，对应的函数值就排列成数列 $\{x_n\}$。 $\quad$ 对于我们要讨论的问题来说，重要的是：当 $n$ 无限增大时（即 $n\to \infty$ 时）,对应的 $x_n=f(n)$ 是否能无限接近于某个数值？如果能的话，这个数值等于多少？ $\quad$ 我们对数列 $$2,\frac{1}{2},\frac{4}{3},...,\frac{n+(-1)^{n-1}}{n},...\quad(2-1)$$ 进行分析。在这数列中 $$x_n=\frac{n+(-1)^{n-1}}{n}=1+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}.$$ $\quad$ 我们知道，两个数 $a$ 和 $b$ 之间的接近程度可以用这两个数的绝对值 $|b-a|$ 来度量（在数轴上 $|b-a|$ 表示点 $a$ 和点 $b$ 之间的距离）， $|b-a|$ 越小， $a$ 和 $b$ 就越接近。 $\quad$ 就数列 $(2-1)$ 来说，因为 $$|x_n-1|=|(-1)^{n-1}\frac{1}{n}|=\frac{1}{n}$$ 由此可见，当 $n$ 越来越大时，$\frac{1}{n}$ 越来越小，从而 $x_n$ 就越来越接近于 $1$。因为只要 $n$ 足够大，$|x_n-1|$ 即 $\frac{1}{n}$ 可以小于任意给定的整数，所以说，当 $n$ 无限增大时， $x_n$ 无限接近于 $1$。例如，给定 $\frac{1}{100}$，欲使$\frac{1}{n}<\frac{1}{100}$，只要 $n>100$，即从第 $101$ 项起，都能使不等式 $$|x_n-1|<\frac{1}{100}$$ 成立。同样滴，如果给定 $\frac{1}{10000}$，那么从 $10001$ 项开始，都能使不等式 $$|x_n-1|<\frac{1}{100}$$ 成立。一般地，不论给定的整数 $\epsilon$ 多么小，总存在一个正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，不等式 $$|x_n-1|<\epsilon$$ 都成立。这就是数列 $x_n=\frac{n+(-1)^{n-1}}{n}(n=1,2,...)$ 当 $n\to\infty$ 时无限接近于 $1$ 这件事的实质。这样一个数 $1$，叫做数列 $x_n=\frac{n+(-1)^{n-1}}{n}(n=1,2,...)$ 当 $n\to\infty$ 时的**极限**。 $\quad$ 一般地，有以下数列极限的定义： $\quad$ 定义：**设 $\{x_n\}$ 为一数列，如果存在常数 $a$，对于任何给定的整数 $\epsilon$（不论它多小），总存在正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，不等式** $$|x_n-a|<\epsilon$$ **都成立，那么称整数 $a$ 是数列 $\{x_n\}$ 的极限，或者称数列 $\{x_n\}$** **收敛于** $a$，记为 $$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a,$$ 或 $$x_n\to a(n\to \infty).$$ $\quad$ 如果说不存在这样的常数 $a$，就说数列 $\{x_n\}$ 没有极限，或者说数列 $\{x_n\}$ 是**发散**的。习惯上也说 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n$ 不存在。 $\quad$ 上面定义中正数 $\epsilon$ 可以任意给定是重要的，因为只有这样，不等式 $|x_n-a|<\epsilon$ 才能表达出 $x_n$ 与 $a$ **无限接近**的意思。此外因还注意到：定义中的正整数 $N$ 是与任意给定的正数 $\epsilon$ 有关的，它随着 $\epsilon$ 的给定而给定。 $\quad$ 我们给“数列 $\{x_n\}$的极限为 $a$”一个几何解释： $\quad$ 将常数 $A$ 及数列 $x_1,x_2,x_3,..,x_n,...$ 在数轴上用他们对应的点表示出来，再在数轴上作点 $a$ 的 $\epsilon$ 邻域，即[开区间](https://baike.baidu.com/item/%E5%BC%80%E5%8C%BA%E9%97%B4/9594680) $(a-\epsilon,a+\epsilon)$，如下图： ![](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/c5d1vbs3.png) 因不等式 $$|x_n-a|<\epsilon$$ 与不等式 $$a-\epsilon<x_n<a+\epsilon$$ 等价，所以当 $n>N$ 时，所有的点 $x_n$ 都落在开区间 $(a-\epsilon,a+\epsilon)$ 内，而只有有限个（至多有 $N$ 个）在这区间以外。 $\quad$ 为了表达方便，引入记号“$\forall$”表示“对于任意给定的”或“对于每一个”，浙大的苏德矿教授将它简称为“任给”，记作“$\exists$”表示“存在”。于是，“对于任给的 $\epsilon>0$”写成“$\forall \epsilon>0$”，“存在正整数 $N$”写成“$\exists$ 正整数 $N$”，数列极限 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$ 的定义可表达为 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a\Leftrightarrow\forall \epsilon>0,\exists$ 正整数 $N$，当 $n>N$ 时，有 $|x_n-a|<\epsilon$. $\quad$ 数列极限的定义并未直接提供如何去求数列的极限，以后再讲数列极限的求法，而现在先举几个说明极限概的例子。 1. 证明数列 $$2,\dfrac{1}{2},\dfrac{4}{3},...,\dfrac{n+(-1)^{n-1}}{n},...$$ 的极限是 $1$。 证 $\quad$ $|x_n-a|=|\dfrac{n+(-1)^{n-1}}{n}-1|=\dfrac{1}{n} 这个 $\dfrac{1}{\epsilon}$ 是一个确定的实数，而对于任何一个实数都有无穷多个大于它的正整数存在。所以，任取一个大于 $\dfrac{1}{\epsilon}$ 的正整数作为 $N$，例如，取 $N=[\dfrac{1}{\epsilon}]+1$,则当 $n>N$ 时，就有 $$|\dfrac{n+(-1)^{n-1}}{n}-1|<\epsilon,$$ 即 $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+(-1)^{n-1}}{n}=1$$ 2. 已知 $x_n=\dfrac{(-1)^n}{(n+1)^2}$，证明数列 $\{x_n\}$ 的极限是 $0$. 证 $\quad$ $|x_n-a|=|\dfrac{(-1)^n}{(n+1)^2}-0|=\dfrac{1}{(n+1)^2}<\dfrac{1}{n^2}. \forall \epsilon>0$,为了使 $|x_n-a|<\epsilon$，只要$\dfrac{1}{n^2}<\epsilon$ 或 $n>\dfrac{1}{\sqrt{\epsilon}},

这个 \dfrac{1}{\sqrt{\epsilon}} 是一个确定的实数，大于 \dfrac{1}{\sqrt{\epsilon}} 的正整数有无穷多个存在，任取其中一个作为 N,例如，取 N=[\dfrac{1}{\sqrt{\epsilon}}]+1，则当 n>N 时，就有

|\dfrac{(-1)^n}{(n+1)^2}-0|<\epsilon,

即

\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(-1)^n}{(n+1)^2}=0.

注意！ \quad 在利用数列极限的定义来论证某个数 a 是数列 \{x_n\} 的极限时，重要的是对与任意给定的整数 \epsilon，要能够指出定义中所说的这种正整数 N 确实存在。如果知道 |x_n-a| 小于某个量（这个量与 n 存在函数关系），那么当这个量小于 \epsilon 时，|x_n-a|<\epsilon 当然也成立。若令这个量小于 \epsilon 能推出符合定义要求的正整数 N 必定存在，就可采用这种方法。例 2 便是这样做的。当然，在利用极限定义证明极限时，如果能具体找出一个满足定义要求的正整数 N，那么也就证明了这种 N 的存在。在以后的证明中，多采取这种找出一个符合要求的正整数 N 的方法。

  1. 设 |q|<1,证明等比数列 1,q,q^2,...,q^{n-1},...

    的极限是 0。

证 \quad \forall\epsilon>0( 设 \epsilon<1)，因为

|x_n-0|=|q^{n-1}-0|=|q|^{n-1},

要使 |x_n-0|<\epsilon，只要

|q|^{n-1}<\epsilon

取自然对数，得 (n-1)\ln|q|<\ln\epsilon。因 |q|<1,\ln|q|<0，故

n>1+\dfrac{\ln\epsilon}{\ln|q|},

取 N=\begin{bmatrix}1+\dfrac{\ln\epsilon}{\ln|q|} \end{bmatrix}，则当 n>N 时，就有

|q^{n-1}-0|<\epsilon,

即

\lim\limits_{n\to\infty}q^{n-1}=0.

收敛数列的性质

下面四个定理都是有关收敛数列的性质。

定理1（极限的唯一性）\quad 如果数列 \{x_n\} 收敛，那么它的极限唯一。

证 \quad 用反证法。假设同时有 x_n\to a 及 x_n\to b，且 a<b。取 \epsilon=\dfrac{b-a}{2}。因为 \lim\limits_{n\to\infty}x_n=a，故 \exists 正整数 N_1，当 n>N_1时，不等式

|x_n-a|<\dfrac{b-a}{2}\quad (2-2)

都成立。同理，因为 \lim\limits_{n\to\infty}x_n=b，故 \exists 正整数 N_2，当 n>N_2 时，不等式

|x_n-b|<\dfrac{b-a}{2}\quad (2-3)

都成立。取 N=\max\{N_1,N_2\}（这式子表示 N 是 N_1 和 N_2 中较大的那个数），则当 n>N 时，(2-2) 式及 (2-3) 式会同时成立，但由 (2-2) 式有

4. 证明数列 $x_n=(-1)^{n+1}(n=1,2,...)$ 是发散的。 证 $\quad$ 如果这数列收敛，根据定理 $1$ 它有唯一的极限，设极限为 $a$，即$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$。按数列极限的定义，对于 $\epsilon=\dfrac{1}{2}$，$\exists$ 正整数 $N$ ，当$n>N$ 时，$|x_n-a|<\dfrac{1}{2}$ 成立；即当 $n>N$ 时,$x_n$ 都在开区间 $\begin{pmatrix}a-\dfrac{1}{2},a+\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$ 内。但这是不可能的，对于 $n\to \infty$ 时，$x_n$ 无休止地一再重复取得 $1$ 和 $-1$ 这两个数，而这两个数不可能同时属于长度为 $1$ 的开区间$\begin{pmatrix}a-\dfrac{1}{2},a+\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$ 内。因此这数列发散。 $\quad$ 由函数有界性的概念可得以下的数列有限性概念。 $\quad$ 对于数列 $\{x_n\}$，如果存在正数 $M$，使得对一切 $x_n$ 都满足不等式 $$|x_n|\leqslant M$$ 那么称数列 $\{x_n\}$ 是**有界的**；如果这样的正数 $M$不存在，就说数列 $\{x_n\}$ 是**无界的**。 $\quad$ 例如，数列 $x_n=\dfrac{n}{n+1}(n=1,2,...)$ 是有界的，因为可取 $M=1$，而使 $$|\dfrac{n}{n+1}|\leqslant 1$$ 对于一切正整数 $n$ 都成立。 $\quad$ 数列$x_n=2^n(n=1,2,...)$ 是无界的，因为当 $n$ 无限增加是时，$2^n$ 可超过任何正数。 $\quad$ 数轴上对应于有界数列的点 $x_n$ 都落在某个区间 $[-M,M]$ 上。 **（收敛数列的有界性）$\quad$ 如果数列 $\{x_n\}$ 收敛，那么数列 $\{x_n\}$ 一定有界。** 证 $\quad$ 因为数列 $\{x_n\}$ 收敛，设 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$。根据数列极限的定义，对于 $\epsilon=1$，$\exists$ 正整数 $N$，当 $n>N$ 时，不等式 $$|x_n-a|<1$$ 都成立。于是，当 $n>N$ 时， $$|x_n|=|(x_n-a)+a|\leqslant|x_n-a|+|a|<1+|a|.$$ 取 $M=\max\{|x_1|,|x_2|,...,|x_N|,1+|a|\}$，那么数列 $\{x_n\}$ 中的一切 $x_n$ 都满足不等式 $$|x_n|\leqslant M.$$ 这就证明了数列 $\{x_n\}$ 是有界的。 $\quad$ 根据上述定理，如果数列 $\{x_n\}$ 无界，那么数列 $\{x_n\}$ 一定发散。但是，如果数列 $\{x_n\}$ 有界，却不能**断定**（注意是断定）数列 $\{x_n\}$ 一定收敛，例如数列 $$1,-1,1,...,(-1)^{n+1},...$$ 有界，但例 $4$ 证明了这数列是发散的。所以数列有界是数列瘦脸的必要条件，但不是充分条件。 **定理3（收敛数列的保号性）$\quad$ 如果 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$，且 $a>0($ 或 $a<0)$，那么存在的正整数 $N$，当 $n>N$ 时，都有 $x_n>0($ 或 $x_n<0)$。** 证 $\quad$ 就 $a>0$ 的情形证明。由数列极限的定义，对 $\epsilon=\dfrac{a}{2}>0$，$\exists$ 正整数 $N$，当 $n>N$ 时，有 $$|x_n-a|<\dfrac{a}{2}.$$ 从而 $$x_n>a-\dfrac{a}{2}=\dfrac{a}{2}>0.$$ $\quad$ **推论 $\quad$ 如果数列 $\{x_n\}$ 从某项起有 $x_n\geqslant 0($ 或 $x_n<0)$。** 证 $\quad$ 设数列 $\{x_n\}$ 从第 $N_1$ 项起，即当 $n>N_1$ 时有 $x_n\geqslant0$。现在用反证法证明。若 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a<0$。则由定理 $3$ 知，$\exists$ 正整数 $N_2$，当 $n>N_2$ 时，有 $x_n<0$。取 $N=\max\{N_1,N_2\}$，当 $n>N$ 时，按假定有 $x_n\geqslant0$，按定理 $3$ 有 $x_n<0$ 的情形，这引起矛盾。所以必有 $a\geqslant 0$。 $\quad$ 数列 $\{x_n\}$ 从某项起有 $x_n\leqslant0$ 的情形，可以类似地证明。 $\quad$ 最后，介绍子数列的概念以及关于收敛数列与其子数列间关系的一个定理。 $\quad$ 在数列 $\{x_n\}$ 中任一抽取无限多项并保持这些项在原数列 $\{x_n\}$ 中的先后次序，这样的到的一个数列称为原数列 $\{x_n\}$ 的**子数列**（或**子列**）（其实有点像高中的子集）。 $\quad$ 设在数列 $\{x_n\}$ 中，第一次抽取 $x_{n1}$，第二次抽取 $x_{n2}$，第三次在 $x_{n2}$ 后抽取 $x_{n3}......$ 这样无休止地抽取下去，得到一个数列 $$x_{n1},x_{n2},x_{n3},...,x_{nk},...,$$ 这个数列 $\{x_{nk}\}$ 就是数列 $\{x_n\}$ 的一个子数列。 **注意！**$\quad$ 在子数列 $\{x_{nk}\}$ 中，一般项 $x_{nk}$ 是第 $k$ 项，而 $x_{nk}$ 在原数列 $\{x_n\}$ 中却是第 $n_k$ 项，显然，$n_k\geqslant k$。 **定理4（收敛数列与其子数列间的关系）$\quad$ 如果数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是 $a$。** 证 $\quad$ 设数列 $\{x_{nk}\}$ 是数列 $\{x_n\}$ 的任一子数列。 $\quad$ 由于 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$，故 $\forall\epsilon>0$，$\exists$ 正整数 $N$，当 $n>N$ 时，$|x_n-a|<\epsilon$ 成立。 $\quad$ 取 $K=N$，则当 $k>K$ 时，$n_k>n_K=n_N\geqslant N$。于是 $|x_n-a|<\epsilon$。这就证明了 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$。证毕。 $\quad$ 由定理 $4$ 可知，如果数列 $\{x_n\}$有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列 $\{x_n\}$ 是发散的。例如，例 $4$ 中的数列 $$1,-1,1,...,(-1)^{n+1},...$$ 的子数列 $\{x_{2k-1}\}$ 收敛于 $1$,而子数列 $\{x_{2k}\}$ 数列于 $-1$，因此数列 $x_n=(-1)^{n+1}(n=1,2,...)$ 是发散的。同时这个例子也说明，一个发散的数列也有可能有收敛的子数列。 大家可以做一下下面几题： 求数列 $\{\dfrac{1}{2^n}\},\{(-1)^n\dfrac{1}{n}\},\{2+\dfrac{1}{2^n}\}$ 那些数列发散？那些收敛？ 本文结！ 后语：本文参考《高等数学》同济八版第一章第二节。 感兴趣的同学可以看一下[这里](https://zhuanlan.zhihu.com/p/256419158)