牛顿-莱布尼兹公式的推导

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今天水知乎的时候，遇到一个定积分定义的问题，然后就想到用牛莱公式搞，结果忘了牛莱公式是怎么推导的了，导致没回答上，太失败了。

所以考证了一下，记录到这里

首先，设x\in[a,b],x+\Delta x\in[a,b]。

有变上下限积分\phi(x)=\int_{a}^{x} f(t)dt

然后得到\phi(x+\Delta x)-\phi(x)=\int_{a}^{x+\Delta x} f(t)dt-\int_{a}^{x} f(t)dt

由定积分的区间可加性，得到

\int_{a}^{x+\Delta x} f(t)dt-\int_{a}^{x} f(t)dt=\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt

由积分中值定理（存在\xi\in[a,b]使得(b-a)f(\xi)=\int_a^bf(t)dt）得到

\phi(x+\Delta x)-\phi(x)=\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt=f(\xi)\Delta x

若令\Delta x\to 0，即得到

\phi(x+\Delta x)-\phi(x)=f(x)\Delta x

即

f(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\phi(x+\Delta x)-\phi(x)}{\Delta x}

即f(x)=\phi'(x)=\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)dt

这就揭示了定积分和原函数的关系，换句话说，变上限积分就是f(x)的一个原函数。

令F(x)=\int_{a}^{x} f(t)dt+C（f(t)所有原函数）

即有F(a)=\int_{a}^{a} f(t)dt+C=C

F(b)=\int_{a}^{b} f(t)dt+C

所以\int_{a}^{b} f(t)dt=F(b)-F(a)

即推出了牛顿-莱布尼兹公式