凸透镜成像规律的证明
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个人记录
大家都知道，初二半个学期以来，物理中最难的是凸透镜。
老师讲的时候，靠实验告诉我们 5 条成像规律，它们并不是很有规律，让大家都觉得很晕。老实说，我写校本的时候都只能抄前面表格，庆幸自己表格没填错。
现在让我们尝试通过我们熟悉的、严谨的数学，证明凸透镜的这 5 条成像规律。
本文的写作目的：
- 证明凸透镜的成像规律
- 带给读者证明美妙定理的快感
- 让读者放心地调用凸透镜成像规律
- 积累使用解析几何的经验
重要提醒：在本文中，我们认为物体是一个点。（有时物体是垂直于主光轴的线段，那像就是 本文中得到的像点 到主光轴的 垂线段。）
初一的数学课上，我们学过：在平面直角坐标系中，一条直线可以对应一个二元一次方程。
以光心为原点，主光轴为 x 轴，向右、上为正方向，建立平面直角坐标系。
这么一来，只要我们找到经过像点的任意两条直线所对应的方程，联立它们，解出来，就可以得到像的坐标！
从哪找这俩直线呢？物体会向四面八方发出许多光，光线交于像。我们选择两条特殊光线——平行于主光轴的，和过光心的（其实也可以选择过焦点的，但两条就够了），它们是确定、可画出的。
设物坐标为 (-u,h)，像坐标为 (v,y)。 其中 u,v 就是物距和像距，h 就是物高。
我们要找的两条直线，即图中绿线和橙线。
设绿线对应方程为 y=ax+b（所有二元一次方程都能化为此形式，叫函数解析式，应该是初三知识），则将绿线上的点 (0,h) 和 (f,0) 代入，得
\begin{cases}
h=a\cdot 0+b\\
0=a\cdot f+b
\end{cases}
解得绿线方程为 y=-\frac hfx+h
同理，得橙线方程为 y=-\frac hux 。
因为它们都过像，可以把像 (v,m) 代入两个方程，并联立得
\begin{cases}
m=-\frac hfv+h\\
m=-\frac huv
\end{cases}
解得
\begin{cases}
v=f+\frac{f^2}{u-f}\\
m=-\frac{hf}{u-f}
\end{cases}
！激动吗？我们现在可以用物距、物高、焦距直接得到像距与像高了！
这样一来，我们就可以进行最后一步——用像的坐标得到 5 条成像规律！
PS: \infty 表示无穷大，a\in(b,c) 表示 b<a<c（这种写法的优点是语序和思维顺序相同，比较友好；好像是高一的知识，然而只是个概念，并不难）
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$u\in(2f,\infty)$ | $v=f+\frac{f^2}{u-f}\in(f,2f)$|$m\in(-\frac{hf}{2f-f}, -\frac{hf}{\infty})=(-h,0)$|倒立缩小的实像
$u=2f$ | $v=f+\frac{f^2}{2f-f}=2f$ | $m=-\frac{hf}{2f-f}=-h$ | 倒立等大的实像
$u\in(f,2f)$ | $v\in (f+\frac{f^2}{2f-f}, f+\frac{f^2}{f-f})=(2f,\infty)$ | $m\in (-\frac{hf}{f-f}, -\frac{hf}{2f-f}) = (-\infty, -h)$ | 倒立放大的实像
$u=f$|$v=f+\frac{f^2}{f-f}=\infty$|$m=-\frac{hf}{f-f}=-\infty$|成像在无限远处 = 不成像
$u\in(0,f)$|$v=f-\frac{f^2}{f-u}\in (-\infty,0)$ | $m=\frac{hf}{f-u}\in (h,\infty)$ | 正立放大的虚像
看，是你物理课上学的 $5$ 条吧。包括 $v$ 的范围也是正确的。
**注意：$5$ 条成像规律一定是要背的，强烈建议不要用这个办法临时推导成像规律，又慢又易错。**
本文只是让大家知道，凸透镜的成像规律是可证明的，并不是只靠实验得出的（**实验永远替代不了证明！**），我们大可以对它们放心。
同时也希望以这篇文章，给读者们一些用解析几何解决问题（对！物理的也可以！）的灵感。
最后，表达一下我越发深刻的感悟：
# 数学物理是一家。