手撕三角函数根式解 || 数雪

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尽请期待 frp 手撕 \sin 114514^\circ,\cos 114514^\circ,\tan 114514^\circ,\sec 114514^\circ,\csc 114514^\circ,\cot 114514^\circ 根式解，或许会有 1919810^\circ,361361^\circ 等。

鲜花：homo、inm、114514 标识符不合法。

求 \sin \theta,\cos \theta,\tan \theta,\sec \theta,\csc \theta,\cot \theta。

由于巨佬 wzh 建议手撕他的 UID 的三角函数值，那好，先撕他的（

$\huge \sin \theta

由诱导公式得，\sin 648933^\circ = \sin (648933^\circ \bmod 360^\circ) = \sin 213^\circ = -\sin 33^\circ。

则有 -\sin 33^\circ = -\sin (15^\circ+18^\circ)。

由 S_{(\alpha + \beta)} 得，\sin (15^\circ+18^\circ)=\sin 15^\circ \cos 18^\circ + \cos 15^\circ \sin 18^\circ。

由卡西欧计算器得，\sin 15^\circ = \dfrac{\sqrt 6-\sqrt 2}{4}，\cos 15^\circ=\dfrac{\sqrt 6+\sqrt 2}{4}。

现在就是要求 18 度的两个三角函数根式解了，好麻烦这玩意。

由诱导公式得，\sin 36^\circ = \cos 54^\circ

则由二倍角公式、三倍角公式得

2\sin 18^\circ \cos 18^\circ &= 4\cos ^ 3 18^\circ - 3 \cos 18^\circ\\ 2\sin 18^\circ &= 4\cos^2 18^\circ - 3\\ 2\sin 18^\circ &= 2\cos^2 18^\circ-1 + 2\cos^2 18^\circ-1-1\\ 2\sin 18^\circ &= 2\times(1-2\sin^2 18^\circ)-1\\ 4\sin^2 18^\circ+2\sin 18^\circ - 1 &= 0 \end{aligned}

设 \sin 18^\circ=x，则有

4x^2+2x-1=0

解方程得

x_1 = \dfrac{\sqrt 5-1}{4},x_2 = \dfrac{\sqrt 5+1}{4}

由于 x_2 的值大于 0.5，即 \sin 30^\circ，而 \sin 18^\circ 不可能会大于 \sin 30^\circ，所以方程的解为 \dfrac{\sqrt 5-1}{4}。 由公式 \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1 得，

(\dfrac{\sqrt 5-1}{4})^2+\cos^2 18 = 1

解得 \cos 18^\circ = \dfrac{\sqrt {10+2\sqrt 5}}{4}。

所以 \sin 648933^\circ=-\sin (15^\circ+18^\circ)=-\dfrac{\sqrt {60+12\sqrt 5}-\sqrt{20+4\sqrt 5}+\sqrt{30}+\sqrt{10}-\sqrt 6 - \sqrt 2}{16}。

我超累死了整到晚上十一点半，剩下五个函数先咕着罢。（\sin 648933^\circ 好像可以化简，也先咕着

12.2 还咕着。