如何帮助csx小朋友进入HNCSP-S前100
fly_bamboo
·
·
休闲·娱乐
声明：本文在保留原作者整活风格与全部数学内容的前提下，使用 AI 辅助进行了语病检查、标点规范与 LaTeX 排版润色。文中观点、计算与结论均属原作者，AI 仅参与文字与格式整理。
在 2026/10/23 大约 11{:}00 的时候，csx 朋友发出了求助帖子：
教练要求我们 150 个人都进 CSP 前 100，我 2024 年带了手表，2025 年 14 分，我该怎么办？
为了帮助 csx 小朋友，我们进行了以下研究。
分数-手表数量
我们假设手表数量为自变量，分数为因变量，那么现在只需要讨论函数类型就可以了。
Tips：确保人类贡献 > AI 贡献（计算部分）。
1. 一次函数
根据前两年的经验，我们不妨设这是一个一次函数。此时只需解一个简单的方程，就能得到
y=-14x+14.
因为需要拿满分，所以回代 400=-14x+14，解得
x=\frac{-193}{7},\qquad x\approx -27.
这就意味着，只需要在进场前偷走其他考生的 27 个手表。
2. 二次函数
当然还有一种可能：我们不妨设这是一个二次函数。可现在我们只有 2 个点。
注意到，作者开头提到“全校 150 人进 CSP-S 前 100”，已知去年 100 线是 232 分。这句话开门见山、总领全文，准确地概括了全文的主题，为下文写作者的忧愁作铺垫，生动形象地表达了作者对竞赛成绩的担忧，引发读者思考：“我是否也要为自己的前途担心”，拉近了读者与作者的距离，坦率地表达情感。
所以我们设一个新的函数
g(\text{排名})=\text{分数}.
注意到函数一定递减，所以我们不妨设这个函数是一个一次函数。如果我没记错，第一名应该是 400 分，这样我们又可以得到两个点
(1,400),\qquad (100,232).
那我们可以直接求出它的解析式：
y=\frac{-56}{13}x+\frac{13256}{33}.
需要注意的是，这个函数的定义域显然是 [1,100]。
因为这个函数图像与 x,y 轴正半轴显然围成梯形，所以我们可以计算它的面积：
S=(400+232)\times 99\div 2=31284.
所以我们白白求了一个解析式。
但没关系，帮助 csx 小朋友才是最重要的。
因为有 100 个人，按照全国青少年手表普及率 43\% 到 70\%，我们取平均值 56.5\%，所以应该会有
100\times 56.5\%=56.5
个手表。
那么我们得到另一个点 (56.5,31284)，结合之前的 (0,14),(1,0)，我们就可以成功求出这个解析式了：
y=\frac{42748}{4181}x^2-\frac{101282}{4181}x+14.
那我们知道 csx 小朋友是要拿满分的，所以代入
400=\frac{42748}{4181}x^2-\frac{101282}{4181}x+14.
解：
x\approx 7.44,
所以可以选择带 7.44 个手表进去。
3. 三次函数
因为 4 个点才能确定一个三次函数，所以我们还需要 1 个点。
我们注意到，函数的自变量是 watch，因变量是 point。因为马克·吐温说过：当你想不起一句名言是谁说的时候，就说是我说的。所以马克·吐温说过：函数的自变量与因变量的英文单词在模 10^9+7 的意义下的哈希值分别为横坐标和纵坐标的点一定在函数上。
注意到 csx 小朋友是竞赛生，所以我们默认按自然溢出处理，于是得到了一个新的点：
(5410675191712082783,\ 10139644600248901816).
至此，我们获得了 4 个点，那我们联立，按理来说就可以得到这个函数解析式。
可如果直接把这个数代进去算，不仅计算复杂，还会因精度不足导致函数退化，所以我们选择把这个点的坐标开 2 次根，再回代。
那么得到了点接近于
(48230,56429),
我们再代入求解，得到函数近似值
y\approx -0.00084x^3+40.50x^2-54.50x+14.
那么回代求解，得到 3 个解
3.83,\qquad -2.49,\qquad 4.82\times 10^4.
我们只能得到一个巨大的值，这也在提醒我们，继续提高函数次数只能得到越来越大的答案。
所以 csx 小朋友如果觉得带 3.83 个手表不够气派，也可以选择带 4.82\times 10^4 个手表进去，仍能帮助他获得 400 分。
4. 反比例函数
虽然点 (0,14) 不在反比例函数的定义域内，但我们还有一个点 (1,0)。因为反比例函数
y=\frac{a}{x}
只会有 1 个未知数，所以根据点 (1,0)，我们可以得到 a=0。
哦不不，这种情况无疑是令人绝望的，这样 csx 小朋友就没办法拿到 400 分了。
为了让 csx 小朋友 AK，我们选择通过曼哈顿距离转化为切比雪夫距离来获得一个有用的坐标，所以
(0,14)\to(14,-14),\qquad (1,0)\to(1,1).
但我们发现，
14\times(-14)\ne 1\times 1.
所以我们推测这可能是分段函数。因为分数恒为非负数，所以得到：
y=
\begin{cases}
\dfrac{-196}{x}, & x<0,\\[6pt]
\dfrac{1}{x}, & x>0.
\end{cases}
当取满分时，得到 y 的两个解
\frac{1}{400},\qquad \frac{-49}{100}.
显然第一个答案太小、不符合实际，故舍去。我们发现给其他考生 0.49 个手表是不错的选择。
经过一轮计算，我们得到 csx 小朋友可以通过携带
-27,\quad 3.8,\quad -2.4,\quad 4.82\times 10^4,\quad -0.49
个手表来获得 CSP 提高级满分。
5. W=Pt
注意到 watch 的首字母为 w，point 的首字母为 p。由小学二年级的公式就可以知道
P=\frac{W}{t}.
所以当时间不变时，分数与手表数量成正比；当手表数量不变时，分数与时间成反比。我们知道下一次 CSP 一定在 2026 年，所以时间是不变的，所以 csx 需要带尽量多的手表来提高分数。
分数-时间
所以我们考虑从多角度分析问题，具体情况具体分析，看人物要看正反两面，而不是塑造一个扁平的人物形象，因为金无足赤人无完人人不可貌相海水不可斗量相形不如论心论心不如择术以容取人乎失之子羽。
我们考虑不同的因素，比如纬度因素经度因素地形地势因素海陆因素人为因素。当然，还要控制单一变量以保证实验的准确性。
所以我们设这次的时间为自变量，于是又可以分类讨论。
1. 一次函数
我们有 (2024,0) 和 (2025,14) 两个点，可以简单地得到函数解析式
y=14x-28336.
所以当 y=400 时，x\approx 2052。所以如果在 2052 年参赛，csx 大概率可以获得 400 分，这是一种很保险的方法。
2. 指数/对数函数
由于分数会增长，我们不妨设这个函数形如
y=a e^x+b\ln x.
因为我们有两个点 (2024,0),(2025,14)，可以先尝试求一下 a,b：
a e^{2024}=-b\ln 2024,
a e^{2025}=-b\ln 2025.
当 a=0 时，显然 b=0，不满足条件；反之亦然。所以 a,b\ne 0。
稍微解一下：
e=\ln 2025-\ln 2024.
嘶，我们先不管。
为了求解，我们先对函数求导：
f'(x)=a e^x+\frac{b}{x}.
考虑到 a,b\in\mathbb{R}，所以我们设存在隐零点 x_0，使得
a e^{x_0}+\frac{b}{x_0}=0.
我们不妨设 a>0,b<0，是明显可以保证隐零点存在的。而 x<x_0 时，f'(x)<0；x>x_0 时，f'(x)>0。所以 f(x_0) 是一个极小值。
遂不会，全剧终。
我们不妨钦定这种情况下无解。
额啊，其实一开始就无解了，不需要钦定。
3. 三角函数
我们设函数为
f(x)=a\sin x+b\cos x.
得到方程组：
0=a\sin 2024+b\cos 2024,
14=a\sin 2025+b\cos 2025.
化简：
0\approx -0.694a-0.719b,
14\approx -0.707a-0.707b.
解得：
a\approx -569.9,\qquad b\approx 550.1.
回代，得到：
x\approx 0.2388+2k\pi
\quad\text{或}\quad
x\approx -1.8440+2k\pi.
所以 csx 同学在这一年参赛就可以拿到 CSP 满分。
结语
实践胜过理论，事实胜于雄辩。欢迎各位选手来检验以上答案。