人船的动量守恒，如何求出 npy 的质量

SnapYust · 2025-07-25 04:36:18 · 学习·文化课

好久没登洛谷。

可能有错，望指正（＾∀＾●）ﾉｼ。

一人一船

如图，一个人，一个船，人质量为 m，船质量为 M，船长度为 L，已知水面光滑不记阻力，人站在船左侧，TA 走到船右侧去，求人和船的对地位移，水平向右为正方向。

这是一个很简单的问题，我们观察到人船系统的合外力为零，所以系统的动量守恒，直接列方程即可。

我们得到 \frac{v_1}{v_2}=\frac{M}{m}，则 \frac{v_1\Delta t}{v_2\Delta t}=\frac{M}{m}，即 \frac{\sum v_1\Delta t}{\sum v_2\Delta t}=\frac{s_1}{s_2}=\frac{M}{m}。

我们得到 \begin{cases}s_1=\frac{ML}{M+m}\\s_2=\frac{mL}{M+m}\end{cases}，由于向右为正方向，即 \begin{cases}x_1=\frac{ML}{M+m}\\x_2=-\frac{mL}{M+m}\end{cases}。

两人一船

还是刚刚那条船，这次左边站着小明，右边站着他的 npy 小 Y，小明询问小 Y 的体重，被小 Y 制裁了。但他还是想知道小 Y 的体重，遂想到一个办法。他让自己走到 npy 那一头，让小 Y 走到原来自己那一头。假设小明的眼睛就是尺，他知道自己的对地位移为 x_1，小 Y 的对地位移为 x_2，船的对地位移为 x，已知小明质量为 m_1，船质量为 M，船长度为 L，求小 Y 质量 m_2，向右为正方向。

这时再次使用动量守恒将会把题目复杂化，我们可以使用一种更新的思路。

质心是质量中心的简称，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心通常不在同一假想点上。 ——百度百科

所以说，质点系的质心是质点系质量分布的平均位置。

这边给定一个关系：若一个系统合外力为零（满足动量守恒），若其系统初动量为零，则质心位置不会改变；若其系统初动量不为零，则质心位置会沿着运动方向匀速直线运动。若系统合外力不为零，因为牛顿第二定律提供的加速度是质心加速度，所以质心满足牛顿第二定律，做变速运动。

而对于该题，显然系统合外力为零，并且最开始时三个隔离体均无速度，初动量为零，那么这个系统的质心肯定不会改变。

对于该题，人和船只在一条线上运动，我们认为他们的运动是一维的。一维质心的坐标可以这样表示：

其中 r_i 质点系中第 i 个质点相对于某一固定点 O 的矢径，m_i 表示其质量。

因此我们得出质心坐标变化量为：

所以我们得到 \sum\Delta r_im_i=0。

将题目数据带入方程得到：

求解得出 m_2=-\frac{m_1x_1+Mx}{x_2}，得到了小明 npy 的体重。