BW2024数学题
aleph_
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个人记录
求
\lim_{n\rightarrow\infin}\left( \frac{\sqrt{1\cdot 2}}{n^2+1}+\frac{\sqrt{2\cdot 3}}{n^2+2}+\cdots+\frac{\sqrt{n(n+1)}}{n^2+n} \right)
- A.1
- B.-1
- C.\frac{1}{2}
- D.布吉岛～
Solution：答案是D
考虑放缩夹逼。设原式为 X，即求 \lim_{n\rightarrow\infin} X，则
L=\frac{\sqrt{1\cdot 1}}{n^2+n}+\frac{\sqrt{2\cdot 2}}{n^2+n}+\cdots+\frac{\sqrt{n\cdot n}}{n^2+n}<X
X<\frac{\sqrt{2\cdot 2}}{n^2+1}+\frac{\sqrt{3\cdot 3}}{n^2+1}+\cdots+\frac{\sqrt{(n+1)\cdot (n+1)}}{n^2+1}=R
这是显然的，因为分母全部取最大值，分子取根号下两个因数的较小值。这样做可以使得通分后分子变为等差数列求和：
L=\frac{\frac{1}{2}(n^2+n)}{n^2+n}
R=\frac{\frac{1}{2}(2+n+1)n}{n^2+1}=\frac{\frac{1}{2}(n^2+3n)}{n^2+1}
分子分母同时除以 n^2 后取极限得到
\lim_{n\rightarrow\infin}L=\lim_{n\rightarrow\infin}\frac{\frac{1}{2}(1+\frac{1}{n})}{1+\frac{1}{n}}
\lim_{n\rightarrow\infin}R=\lim_{n\rightarrow\infin}\frac{\frac{1}{2}(1+\frac{3}{n})}{1+\frac{1}{n^2}}
知
\because \lim_{n\rightarrow\infin}\frac{1}{n}=0
\therefore \lim_{n\rightarrow\infin}L=\frac{1}{2},\lim_{n\rightarrow\infin}R=\frac{1}{2}
因为 L<X<R ，而两边的极限值都是 \frac{1}{2}，被夹在中间的 X 的极限值自然也是 \frac{1}{2} 了。答案是C。