2024 新高考Ⅰ卷数学 19(3) 加强版

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原题：你有 1,2,\cdots,4m+2 这些数，随机删除其中两个数 x,y 后，记能把剩下 4m 个数分成 m 个长度为 4 的等差数列的概率为 P_m，证明 P_m>\dfrac{1}{8}。

不妨设 x<y。

若 x\bmod4=1 且 y\bmod4=2，则从小到大把相邻 4 个数分成一组，公差都是 1。

若 x\bmod4=2 且 y\bmod4=1 且 y-x\ge7，[1,x-2] 和 [y+2,4m+2] 仍相邻 4 个数分成一组，其它的数仿照 (2)（m=3，x=2，y=13）试出的构造 [1,4,7,10],[3,6,9,12],[5,8,11,14]，记 k=\dfrac{y-x+1}{4}，分成 k 个公差为 k 的等差数列，类似 a_bcdaebcdaebcdaebcd_e。

总的 (x,y) 对数是 \dfrac{(4m+2)(4m+1)}{2}，第一种情况的 (x,y) 对数是 \dfrac{(m+2)(m+1)}{2}，第二种情况的 (x,y) 对数是 \dfrac{m(m-1)}{2}，故 P_m\ge\dfrac{(m+2)(m+1)+m(m-1)}{(4m+2)(4m+1)}=\dfrac{2m^2+2m+2}{16m^2+12m+2}>\dfrac{1}{8}。

具体的步骤

加强版：求 P_m。

do_while_true 注意到，在数和公差都模 4 的意义下，公差为 0 占用一种数四个，公差为 1 或 3 占用四种数各一个，公差为 2 占用 0,2 或 1,3 各两个。因此，若能分成，则四种数的个数之差都是偶数，且 0,2 和 1,3 的个数分别模 4 相等，故删的必须是 1,2 各一个。

离充要条件只差一种情况——x\bmod4=2 且 y\bmod4=1 且 y-x=3，写份搜索看看：

m=1,x=2,y=5: No solution
m=2,x=2,y=5: No solution
m=2,x=6,y=9: No solution
m=3,x=2,y=5: No solution
m=3,x=6,y=9: No solution
m=3,x=10,y=13: No solution
m=4,x=2,y=5: No solution
m=4,x=6,y=9: No solution
m=4,x=10,y=13: No solution
m=4,x=14,y=17: No solution
m=5,x=2,y=5: No solution
m=5,x=6,y=9: No solution
m=5,x=10,y=13: No solution
m=5,x=14,y=17: No solution
m=5,x=18,y=21: No solution
m=6,x=2,y=5: No solution
m=6,x=6,y=9: No solution
m=6,x=10,y=13: [1,9,17,25],[2,4,6,8],[3,7,11,15],[5,12,19,26],[14,16,18,20],[21,22,23,24]
m=6,x=14,y=17: [1,8,15,22],[2,10,18,26],[3,4,5,6],[7,9,11,13],[12,16,20,24],[19,21,23,25]
m=6,x=18,y=21: No solution
m=6,x=22,y=25: No solution
m=7,x=2,y=5: No solution
m=7,x=6,y=9: [1,3,5,7],[2,8,14,20],[4,10,16,22],[11,13,15,17],[12,18,24,30],[19,21,23,25],[26,27,28,29]
m=7,x=10,y=13: [1,9,17,25],[2,4,6,8],[3,7,11,15],[5,12,19,26],[14,16,18,20],[21,22,23,24],[27,28,29,30]
m=7,x=14,y=17: [1,2,3,4],[5,13,21,29],[6,8,10,12],[7,11,15,19],[9,16,23,30],[18,20,22,24],[25,26,27,28]
m=7,x=18,y=21: [1,2,3,4],[5,12,19,26],[6,14,22,30],[7,8,9,10],[11,13,15,17],[16,20,24,28],[23,25,27,29]
m=7,x=22,y=25: [1,3,5,7],[2,11,20,29],[4,6,8,10],[9,13,17,21],[12,14,16,18],[15,19,23,27],[24,26,28,30]
m=7,x=26,y=29: No solution
m=8,x=2,y=5: [1,4,7,10],[3,13,23,33],[6,9,12,15],[8,11,14,17],[16,22,28,34],[18,19,20,21],[24,25,26,27],[29,30,31,32]
m=8,x=6,y=9: [1,3,5,7],[2,8,14,20],[4,10,16,22],[11,13,15,17],[12,18,24,30],[19,21,23,25],[26,27,28,29],[31,32,33,34]
m=8,x=10,y=13: [1,2,3,4],[5,7,9,11],[6,12,18,24],[8,14,20,26],[15,17,19,21],[16,22,28,34],[23,25,27,29],[30,31,32,33]
m=8,x=14,y=17: [1,2,3,4],[5,13,21,29],[6,8,10,12],[7,11,15,19],[9,16,23,30],[18,20,22,24],[25,26,27,28],[31,32,33,34]
m=8,x=18,y=21: [1,2,3,4],[5,6,7,8],[9,17,25,33],[10,12,14,16],[11,15,19,23],[13,20,27,34],[22,24,26,28],[29,30,31,32]
m=8,x=22,y=25: [1,2,3,4],[5,6,7,8],[9,16,23,30],[10,18,26,34],[11,12,13,14],[15,17,19,21],[20,24,28,32],[27,29,31,33]
m=8,x=26,y=29: [1,2,3,4],[5,7,9,11],[6,15,24,33],[8,10,12,14],[13,17,21,25],[16,18,20,22],[19,23,27,31],[28,30,32,34]
m=8,x=30,y=33: [1,7,13,19],[2,12,22,32],[3,4,5,6],[8,9,10,11],[14,15,16,17],[18,21,24,27],[20,23,26,29],[25,28,31,34]

因为 m>8 都能转化为 m=8，所以做完了，式子略。