数论（一）
Guchengwenhua · · 个人记录
例题一： ①是否存在正整数
解①：令
a_k=2^{99}+2^{98}+\dots+2^{100-k} ，则有a_1<a_2<\dots<a_{100} ，且\left(a_k,a_{k-1}\right)=2^{100-k} ，\left(a_k,a_{k+1}\right)=2^{100-k-1} ，故(a_{k},a_{k-1})>(a_k,a_{k+1}) 满足条件。解②：开始时令
a_1=1,a_2=2 ，以后每部操作如下：如果已经构造好了a_1<a_2<\dots<a_n ，使得对于任意2\le k\le n-1 ，都有[a_{k-1},a_k]>[a_k,a_{k+1}] ，我们取整数p ，构造新的n+1 个数如下b_1=pa_1-1<b_2=pa_1<b_3=pa_2<\dots<b_{n+1}=pa_n 。显然对于
3\le k\le n 都有[b_{k-1},b_k]=p[a_{k-2},a_{k-1}]>p[a_{k-1},a_k]=[b_k,b_{k+1}] ，所以只要[b_1,b_2]=(pa_1-1)pa_1>pa_1a_2\ge[b_2,b_3] 即可，这只要取p>\dfrac{a_2+1}{a_1} 即可。因此，对于任意正整数m ，我们都可以构造长为m 的数列满足要求。
例题二：一堆球由外表一样的
解：注意到两堆数量一样的球如果重量也一样，则他们中
10 克重的球数量一定相同。显然，至少需要用天平称一次，我们下面证明称一次已经足够了。把球分为三堆
H_1,H_2,H_3 ，个数分别为667,667,666 ，先把H_1,H_2 放在天平的两边，如果重量不相等，则H_1,H_2 已经符合要求了。下面假设
H_1,H_2 重量相等，则他们中10 克的球数量一定相同，设他们中都有n 个10 克的球，则H_3 有1000-2n 个10 克的球。我们在H_1 中任意去掉一个球，使其成为数量为666 的一堆球H_4 ，则H_4 中有n 个或n-1 个10 克的球，而n=1000-2n 和n-1=1000-2n 都不可能成立，因此H_3 与H_4 重量不同，满足要求。
例题三：有三个正整数
解：假设
(x,y,z)=1 ，令(x,y)=a,(y,z)=b,(z,a)=c ，则(a,b,c) 两两互质，因此存在正整数l,m,n 使得x=lac,y=mab,z=nbc 。又已知
x+y=a(lc+mb)\big|lma^2bc=xy ，故lc+mb\big|lmabc ，由于(x,y)=a ，所以(lc,mb)=1 ，因此(lc,lc+mb)=1 ，也有(mb,lc+mb)=1 ，因此lc+mb\big|a ，所以a\ge lc+mb\ge b+c 。同理可得
b\ge a+c ，与上式矛盾，因此(x,y,z)>1 。
例题四：
解：
M=1 时，对于任意k\ge0 ，都有a_k=\dfrac32 ，因此数列中没有整数。结论：对于任意
M>1 ，数列\{a_n\}_{n=0}^\infty 中有整数。若
v_2(m-1)=0 ，则M 是偶数，此时a_1=M\left(M+\dfrac12\right) 是整数。以下设
v_2(M-1)=r\ge 0 时结论成立，则当v_2(M-1)=r+1 时，M 是奇数，因此a_1=M\left(M+\dfrac12\right) =\dfrac{2M^2+M-1}{2}+\dfrac12 ，N=\dfrac{2M^2+M-1}{2} 是一个整数，由于N-1=\dfrac{M-1}{2}(2M+3) 。因此v_2(N-1)=v_2\left(\dfrac{M-1}{2}\right)=r 。综上所述，数列中有整数。
例题五：求能被
解：
例题六：有
解：
例题七：
解：
例题八：
解：