学习笔记——概率与期望
一、前置知识：
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随机试验
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定义：
具有一下几个特点的试验叫做随机试验：
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可重复性：试验在相同条件下可重复进行；
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可知性：每次试验的可能结果不止一个，并且事先能明确试验所有可能的结果；
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不确定性：进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现，但必然会出现结果中的一个。
我们将其记作 E 。
说人话：不是偶然发生的，我们可以看到并且了解所有结果，但是事先预测不了。
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一些例子：
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抛硬币：连续抛两下，观察正反情况。
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投掷骰子：投掷六下，观察其正面数字。
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基本事件：
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定义：
在试验中可直接观察到的、最基本的不能再分解的结果称为基本事件。
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基本事件的概率：
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对于离散的，其被赋予特殊值；
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对于连续的，个体基本事件为 0。
特殊值就是我们所熟知的概率。
连续就不用管，这东西要学微积分。
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特点：
基本事件必须具有的特点：
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任何两个基本事件是互斥的。
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任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。
互斥很好理解：不一样。基本事件的和可以理解为我做这件事会发生的所有情况。
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例子：
抛两次硬币，情况有四种：HH,TT,TH,HT。
每一种都是一个基本事件。
所有基本事件共同组成基本事件空间。
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样本空间：
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随机试验 E 的所有基本结果组成的集合为 E 的样本空间。
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样本空间的元素称为样本点或基本事件。
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又称为基本事件空间。
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上面都是一些定义，我知道大家不想看，但是不得不写。
二、古典概型：
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定义：
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试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
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试验中每个基本事件出现的可能性相等。
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性质：
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有限性（所有可能出现的基本事件只有有限个）
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等可能性（每个基本事件出现的可能性相等）
同时具备这两种特点的概率模型称为古典概型。
我们在初高中阶段大部分接触到的都是古典概型，典型的是丢硬币。
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古典概型的计算：
用 P 来代表发生事件 A 的概率，则：
P(A)=\displaystyle\frac{m}{n} 其中：
m 为 A 包含的基本事件总数，n 为总基本事件数。这个大家应该都熟知，可以这样理解：
n 是全部的情况数，m 是我们想要的情况数。 -
计算步骤：
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算出所有基本事件的个数
n ； -
求出事件A包含的所有基本事件数
m ； -
代入公式，求出
P(A) 。
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例题：
现在有 2个白球，4个黑球。进行两次取球，要放回。问：
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两次都摸黑球的概率。
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至少摸出一个黑球的概率。
解：
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第一问：
P(A)=\displaystyle\frac{C_4^2}{C_6^2} -
第二问：
P(A)=\displaystyle\frac{C_4^1 C_2^1 \times 2 + C_4^2}{C_6^2}
解析：
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所有基本事件数：
C_6^2 6个里面选2个。 -
对于第一问：两次都摸黑球的事件数为：
C_4^2 4个里面选2个。再带入公式。 -
对于第二问：至少摸出一个黑球打情况有：一白一黑和两黑。
一白一黑的情况为
C_4^1 C_2^1 \times 2 。两黑见第一问 -
将总数相加带入公式。
在题目中我有变粗一些字，我们注意到“要放回”，放回的话，我们的球总数是不会变的。但是不放回球的总数是会发生改变的，这是我们后面要介绍的条件概型。
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一些分支：
我们将在几何概型后进行讨论。
古典概型还是比较具体，比较直观，接下来我们可以体会到数形结合的美。
三、几何概型：
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定义：
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积或度数)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。
本质上可以看做是一些不等式的解集。
需要注意下这些粗体的关键词。
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区别古典概型和性质：
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无限性：试验中所有可能出现的基本事件（结果）有无限多个。
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等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。
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与古典概型的区别：根据无限性。
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计算公式：
这个大家可以结合下面的例题来理解。本质上还是总的除以发生的区域。 -
例题：
甲乙两人约定在7点-8点见面，已知若两人中的一人在7点-8点的某一时刻到达，他最多会等另一个人20分钟，求他们见面的概率。
解：设甲在
x 时间到达， 乙在y 时间到达则：\begin{cases}x-y\le20\\y-x\le20\end{cases} 而整体是一个小时，则可画出图像：
答案即为红色字体所在的六边形的面积，除以红黄线所围成的正方形的面积。
\displaystyle\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}\times \frac{1}{2} \times 2=\frac{4}{9} 在此处，我们将所有的数除了60，所以会呈现出分数的形态，但这并不影响答案。
四、条件概率：
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定义：
是一个古典概型的问题。其讨论的是 在A事件发生的基础上B发生的概率，记作：
P(B|A) 额，可以类别乘法原理，
大概吧。 -
计算：
P(B|A)=\displaystyle\frac{P(AB)}{P(A)} -
例题： 现在有4个产品，3个一等品和1个次等品。现在从中取两次，不放回。问：两次都是一等品的概率。
解：
A：一次 1等
B：二次 1等
P(B|A)=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3}{4}\times\frac{2}{3}}{\displaystyle\frac{3}{4}}=\frac{2}{3} 根据古典概型我们可以知道，第一次抽出一等品的概率是
\frac{3}{4} ，第二次，由于已经抽走了一个，剩下3个所以是\frac{2}{3} 。
五、完备事件组：
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定义：
将一个样本空间分为多个子集，两两子集之间无交集，取并为全集。
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全概率公式：
求一个事件A在全概率组中发生的概率。
P(A)=\sum\limits_{i=1}^n\displaystyle\frac{A_i}{B_i} 又有：
P(A)=\sum\limits_{i=1}^nP(A|B_i)P(B_i) -
四则运算：
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乘法公式
P(AB)=P(B|A)P(A) -
加法公式
P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)
乘法还是比较明显的。
加法可以用容斥原理来理解。
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贝叶斯公式：
先定义一个概念：先验概率和后验概率
通俗的讲：先验概率就是知因求果，后验反之。
贝叶斯公式就是后验概率。
其形式为：
P(B_k|A)=\displaystyle\frac{P(A|B_k)P(B_k)}{\sum\limits_{i=1}^nP(A|B_i)P(B_i)} 分数线下面的部分就是全概率公式。
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例题：
现在有一箱玻璃瓶共20个，从中随便挑选出4个，若全部都是好的，就买走，已知这一箱玻璃瓶中全部都是好的概率为0.8，有一个为次品的概率为0.1有两个是品的概率也一样是0.1。问：这箱玻璃瓶已被买走，求其中有一个次品的概率。
解：
P(B_1|A)=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{C^4_{19}}{C^4_{20}}\times0.1}{1\times0.8+\displaystyle\frac{C^4_{19}}{C^4_{20}}\times0.1+\displaystyle\frac{C^4_{18}}{C^4_{20}}\times0.1}\approx0.0848 解析：
根据公式，能够挑出四个都是好的的概率是
\displaystyle\frac{C^4_{19}}{C^4_{20}} 再乘上发生的概率得到分子。分母同理。
六、独立事件：
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定义：
若事件A，B满足：
P(AB)=P(A|B),P(B)=P(A)P(B) 则称A，B为独立事件。
感性理解：A，B之间互不影响。
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几种事件：
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独立：
P(AB)=P(A)P(B) -
对立：
A\cup\overline{A}=S -
互斥：
A \cap B=\varnothing
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例子：
10件物品取两次，不放回，其中有三件次品，求：
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第二次取得正品的概率。
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第二次才取到正品的概率。
解：
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\displaystyle\frac{C^1_{2}C^1_{8}+C^1_8C^1_7}{C^1_{10}C^1_9} -
\displaystyle\frac{2}{10}\times\frac{8}{9}=\frac{8}{45}
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七、随机变量：
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定义：
样本空间：
S=\{e\} 令
x=x(e) 是定义在样本空间上的实值函数，则： -
性质：
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随机变量在不同的条件下由于偶然因素影响，可能取各种不同的值，故其具有不确定性和随机性。
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随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。
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多次重复测定所得到的测定值具有统计规律性。
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随机变量与模糊变量的不确定性的本质差别在于，后者的测定结果仍具有不确定性，即模糊性。
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例子：
抛硬币三次，正面出现的次数：
HHH HHT HTH THH HTT TTH THT TTT 3 2 2 2 1 1 1 0 次数即一个随机变量。
八、离散型随机变量及其分布率
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分布律：
例子： 5球=2白+3黑，取了5个不放回，求白球个数的分布律。 解： | $x$ | 0 | 1 | 2 | | :----------: | :----------: | :----------: | :----------: | | $P(x=x_k)$ | $\displaystyle\frac{1}{10}$ | $\displaystyle\frac{3}{5}$ | $\displaystyle\frac{3}{10}$ | -
01分布（两点分布）：
x 0 1 P P 1-P -
伯努利试验：
做
k 次01分布的结果。C_n^kP^k(1-P)^{n-k} -
泊松分布：
在
n 重伯努利试验下。当n 很大，P 很小时，则服从泊松分布。答案是： $20\le n,P\le0.05$。 泊松分布是一个近似值： $P\{x=k\}=\displaystyle\frac{\lambda^k}{k!}\times e^{-\lambda} 其中：
\lambda=np ,e 为欧拉常数，一般取2.7。 -
例子：
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01分布：
现在有四组红绿灯，汽车在每组红绿灯处都有
P 的概率静止通过。问：
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汽车停下
x 次的概率。0\le x\le 3 -
汽车首次停下已经过
x 个路口的概率。0\le x\le 3
解：
一问是
x 重伯努利试验，二问是一个单纯地分布问题。-
x 0 1 2 3 P(x=k) (1-P)^4 C_4^1P(1-P)^3 C_4^2P^2(1-P)^2 C_4^3P^3(1-P) -
x 0 1 2 3 P(x=k) P P(1-P) P(1-P)^2 P(1-P)^3
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泊松分布：
现在有
x\sim P(\lambda),\lambda=2 求：-
P(x\le1) -
P(3\le x)
解:
一问直接求，二问可以看做
1-P(x<3) -
3e^{-\lambda}=3e^{-2} -
1-3e^{-\lambda}-\displaystyle\frac{4}{2}e^{-\lambda}=1-5e^{-2}
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九、简单期望：
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定义：
P=\{x=x_k\},k\in N_+ 称：
\sum\limits_{k=1}^{\infty}x_kP_k 为x 的数学期望。记作
E(x) -
性质：
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E(c)=c -
E(cx)=cE(x) -
E(x+y)=E(x)+E(y) -
若
x,y 独立，则E(xy)=E(x)E(y)
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对于一些特殊的分布：
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x\sim (0-1)$: $E(x)=p -
x\sim P(n,p)$: $E(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}E(x_i)=np -
x\sim P(\lambda)$: $E(x)=\lambda
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十、方差：
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定义：
讨论数据（随机变量）的离散程度。
记作
D(x),Var(x) 也可以说是随机变量与期望值的距离平方的期望
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计算公式：
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S^2=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-E(x_i))^2}{n-1} -
E(x-E(x)^2)=E(x^2)-(E(x))^2
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对于一些特殊的分布：
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x\sim (0-1)$: $D(x)=p(1-p) -
x\sim P(n,p)$: $D(x)=np(1-p) -
x\sim P(\lambda)$: $D(x)=\lambda
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例题：
解：
先算出
\lambda 则E(x)=D(x)=\lambda 由题意：
\lambda\times3e^{-\lambda}+\displaystyle\frac{\lambda^2}{2}\times 2e^{-\lambda}=1\times 4e^{-\lambda} 化简得：
(\lambda+4)(\lambda-1)=0 解得：
\lambda=-4$ 或 $\lambda=1 又因为：
\lambda>0 所以：
E(x)=D(x)=1