[ZMO0110]集合与简易逻辑
p.s.高联一试部分主要就是罗列概念，会拓展一些东西！
今天我们来复习一下集合与简易逻辑。
\mathtt{Part1} 简易逻辑
命题：可判断真假的陈述句，用大写字母"
简单命题：不含联结词的命题。
联结词：
-
- 合取词
\land ：P\land Q=P 且Q ，P,Q 均为真才真 - 折取词
\lor ：P\lor Q=P 或Q ，P,Q 至少一个真则为真 - 蕴含词
\to ：P\to Q ，P 代表条件，Q 代表结论，P 真Q 真，P 假P\to Q 真 - 双条件词
\leftrightarrow ：P\leftrightarrow Q ，P 当且仅当Q ，P,Q 同真同假
命题拆分：主体+谓词
etc.书虫今天很谔。
书虫是主体，今天很谔是谓语。
etc.
- 全称量词
\forall x
\mathtt{Part2} 集合的概念
特性：确定性，互异性，无序性
表示方法：
- 自然数集
\mathbb{N} ，整数集\mathbb{Z} ，有理数集\mathbb{Q} ，实数集\mathbb{R} ，复数集\mathbb{C} - 外延表示法——列举法：
A=\{2,3,5,7,\cdots\} - 内涵表示法——描述法：
A=\{x|p(x)\}
易错点：
-
-
\{1\}$是一个集合，内有元素$1 -
\{\{1\}\}$是一个集合，内有元素$\{1\}
易错点2：
-
A=\{9,8,7,6\},B=\{9,\{8,7\},6\} -
B\cap C=\{9.6\},B\not\subseteq C,C\not\subseteq B,B\ne C
集合论范畴，不能研究所有集合构成的“集合”。
\mathtt{Part3} 集合的关系与运算
\mathtt{Part3.1} 集合的关系
-
-
A\subseteq B$：$(\forall x)(x\in A\to x\in B)
\mathtt{Part3.2} 特殊集合
-
\varnothing=\{x|x\ne x\} -
E=\{x|x=x\} - 推论1：
A 为集合，则\varnothing\subseteq A ；\varnothing\subseteq A\Leftrightarrow(\forall x)(x\in\varnothing\rightarrow x\in A) 恒为真命题 - 推论2：
\varnothing 唯一存在（\varnothing_1 是空集，\varnothing_2 是空集，\varnothing_1=\varnothing_2 ）利用推论1，\varnothing_1\subseteq\varnothing_2,\varnothing_2\subseteq\varnothing_1\Rightarrow\varnothing_1=\varnothing_2
\mathtt{Part3.3} 集合的运算
-
A\cup B=\{x|x\in A\lor x\in B\} -
A\cap B=\{x|x\in A\land x\in B\} -
A-B=\{x|x\in A\land x\not\in B\} -
\complement_UA=\{x|x\in U\land x\not\in A\}
\mathtt{Part3.4} 基本运算律
- 交换律：
A\cup B=B\cup A,A\cap B=B\cap A - 结合律：
A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C,(A\cap(B\cap C)) - 分配律：
A\cup(A\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C),A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C) - 幂等律：
A\cup A=A\cap A=A - 吸收律：
A\cap(A\cup B)=A,A\cup(A\cap B)=A - 摩根律：
\complement_U(A\cup B)=(\complement_UA)\cap(\complement_UB),\complement_U(A\cap B)=(\complement_UA)\cap(\complement_UB)
可以用韦恩图（
\mathtt{Part4} 容斥原理
-
-
A,B,C$都是有限集，$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C| -
A_1,A_2,\cdots,A_n$都是有限集，$|A_1\cup A_2\cdots\cup A_n|=\sum\limits_{i=1}^n|A_i|+\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}^n|A_i\cap A_j|+\sum\limits_{1\leqslant i<j<k\leqslant n}^n|A_i\cap A_j\cap A_k|\cdots+(-1)^{n-1}|A_1\cap A_2\cdots\cap A_n|
好，我们今天就先复习到这里。