命题的映射化

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1. 前言

众所周知，高中数学课本把命题定义为

命题是能判断真假的陈述句。

这个定义接纳 1=2、\sqrt{9}=3 这类不含参的陈述，却把 p(x):x>2 这类含参数的陈述排除在外，后者通常称为开语句。把两者分开处理，既不方便，也不优美，因为这并没有揭示它们的共同结构：只要给定参数，开语句就唯一确定一个真值。不含参数的陈述则不需要给定任何参数。换句话说，它们都是“参数到真值”的映射。

这自然得到本文的定义：命题是定义集合 U 上、取值于布尔域 \{T,F\} 的映射。以下“命题”均指这种映射，与课本用法不同。

我们将基于集合论、布尔代数和该定义逐步建立一种将它们统一起来的理解。

前置知识：

2. 命题

2.1. 命题的定义

记布尔域为

\mathbb{B}:=\{T,F\}

命题是定义在集合 U 上、陪域为 \mathbb{B} 的映射，即

\begin{aligned} p\colon U&\to\mathbb{B}\\ x&\mapsto p(x) \end{aligned}

其中 U 称为命题的定义域；p(x)\in\mathbb{B} 是命题在参数 x 处的真值。

两个命题 p,q 相等，当且仅当它们有相同的定义域 U，且对每个 x\in U 都有 p(x)=q(x)。

若 p 的值域为 \{T\} 则称 p 在 U 上恒真；若 p 的值域为 \{F\} 则称 p 在 U 上恒假。

把命题建模为映射，只要给定参数，映射就给出唯一真值，正是“能判断真假”的精确刻画。

2.2. 无自变量命题

形如 1=2 的陈述不含参数，称为无自变量命题。为了把它纳入映射框架，规定它的定义域为单元素集 \{()\}，其中 () 是唯一的空元组。于是无自变量命题可以写成

p\colon\{()\}\to\mathbb{B}

其唯一取值 p(()) 就是该命题的真值。

这样规定定义域的理由来自空笛卡尔积的约定。考虑有 n 个自变量的映射 f(x_1,x_2,\dots,x_n)，其中 x_i 各自在 S_i 中取值。它的定义域是笛卡尔积 \prod_{i=1}^{n}S_i。当 n=0 时，指标集为空，此时空笛卡尔积约定为单元素集

\prod_{i\in\varnothing}S_i=\{()\}

自然得到上述规定。

因此课本所说的“能判断真假的陈述句”正是无自变量命题。

注：为了书写方便，以下把无自变量命题与其唯一真值等同：直接写 p=T 或 p=F。

2.3. 命题与真值集合的关系

设 \operatorname{Pred}(U) 表示 U 上全体命题的集合，即

\operatorname{Pred}(U):=\{p\mid p\colon U\to\mathbb{B}\}

定义真值集合映射

\begin{aligned} \mathcal T_U\colon\operatorname{Pred}(U)&\to\mathcal P(U)\\ p&\mapsto\{x\in U\mid p(x)=T\} \end{aligned}

其中 \mathcal P(U) 是 U 的幂集，\mathcal T_U(p) 称为 p 的真值集合，即所有使 p(x)=T 的 x 组成的集合。

不难证明 \mathcal T_U 是双射，因此 \mathcal T_U 有逆映射。

我们首先对任意 A\subseteq U 定义特征命题

\chi_A\colon U\to\mathbb{B},\quad \chi_A(x)= \begin{cases} T & x\in A\\ F & x\notin A \end{cases}

则 \mathcal T_U(\chi_A)=A。因此 \mathcal T_U 的逆映射为

\begin{aligned} \mathcal T_U^{-1}\colon\mathcal P(U)&\to\operatorname{Pred}(U)\\ A&\mapsto\chi_A \end{aligned}

这说明命题与真值集合是同一对象的两种表示。同时 \mathcal T_U 把命题语言翻译成集合语言。由于 \mathcal T_U 是双射，两种语言可以自由互换。

3. 命题的逻辑运算

3.1. 命题逻辑运算的定义

设 p,q\in\operatorname{Pred}(U)。对每个 x\in U，逐点定义

\begin{aligned} (p\land q)(x)&:=p(x)\land q(x)\\ (p\lor q)(x)&:=p(x)\lor q(x)\\ (\neg p)(x)&:=\neg p(x)\\ (p\to q)(x)&:=p(x)\to q(x) \end{aligned}

其中右侧的 \land,\lor,\neg,\to 是 \mathbb{B} 上的逻辑运算，左侧则为命题的逻辑运算。

于是 p\land q、p\lor q、\neg p、p\to q 仍是 U 上的命题。

注意 p\to q 是 U 上的命题，它逐点取值，没有单一真值。

3.2. 命题逻辑运算和真值集合的对应

由命题的逻辑运算的定义可以得到

\begin{aligned} \mathcal T_U(p\land q)&=\mathcal T_U(p)\cap\mathcal T_U(q)\\ \mathcal T_U(p\lor q)&=\mathcal T_U(p)\cup\mathcal T_U(q)\\ \mathcal T_U(\neg p)&=\complement_U\bigl(\mathcal T_U(p)\bigr)\\ \mathcal T_U(p\to q)&=\complement_U\bigl(\mathcal T_U(p)\bigr)\cup\mathcal T_U(q) \end{aligned}

命题的恒等式与集合的恒等式一一对应。例如，命题层面和集合层面的德摩根律相互对应。

4. 量词命题

4.1. 量词命题的定义

设 p\in\operatorname{Pred}(U)，S\subseteq U。

全称量词命题

\forall x\in S,p(x)

是无自变量命题，它为真当且仅当

S\subseteq\mathcal T_U(p)

存在量词命题

\exists x\in S,p(x)

同样是无自变量命题，它为真当且仅当

S\cap\mathcal T_U(p)\neq\varnothing

不难证明，量词与否定有如下对偶关系

\begin{aligned} \neg\bigl(\forall x\in S,p(x)\bigr)&=\exists x\in S,\neg p(x) \\[10px] \neg\bigl(\exists x\in S,p(x)\bigr)&=\forall x\in S,\neg p(x) \end{aligned}

4.2. 空集的量词命题

量词命题在 S=\varnothing 情形下的取值值得单独说明。

此时 \varnothing\subseteq\mathcal T_U(p) 恒成立，故全称量词命题 \forall x\in S,p(x) 为真。

同理，存在量词命题在 S=\varnothing 时为假，因为 \varnothing\cap\mathcal T_U(p)=\varnothing。

5. 蕴含、充分条件与必要条件

设 p,q\in\operatorname{Pred}(U)。无自变量命题

p\Longrightarrow q

为真当且仅当

\mathcal T_U(p)\subseteq\mathcal T_U(q)

当 p\Longrightarrow q 为真时，称 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。

若 p\Longrightarrow q 与 q\Longrightarrow p 都为真，则称 p 与 q 等价，p 是 q 的充分必要条件。“等价”可以写成无自变量命题

p\Longleftrightarrow q:=(p\Longrightarrow q)\land(q\Longrightarrow p) ## 6. 逆命题、否命题、逆否命题 设 $p,q\in\operatorname{Pred}(U)$，考虑无自变量命题 $p\Longrightarrow q$。定义 - $q\Longrightarrow p$ 为其逆命题 - $\neg p\Longrightarrow \neg q$ 为其否命题 - $\neg q\Longrightarrow \neg p$ 为其逆否命题 不难证明**原命题**和其**逆否命题**等价，**逆命题**和**否命题**等价。 **注意：否命题不是命题的否定。原命题的否定是 $\neg (p\Longrightarrow q)$。** ## 7. 集族与命题族的运算 ### 7.1. 集族的交、并 集族的交和并用全称和存在量词定义。 对于任意指标集 $I$，定义 $$ \begin{aligned} \bigcap_{i\in I}A_i&:=\{x\in U\mid\forall i\in I,x\in A_i\} \\[10px] \bigcup_{i\in I}A_i&:=\{x\in U\mid\exists i\in I,x\in A_i\} \end{aligned} $$ 其中 $(A_i)_{i\in I}$ 是 $U$ 的一族子集，每个 $A_i\subseteq U$。 当 $I=\varnothing$ 时，有 $\bigcap_{i\in\varnothing}A_i=U$，$\bigcup_{i\in\varnothing}A_i=\varnothing$。这是相对全集 $U$ 而言的。 进一步，由全称量词命题和存在量词命题的对偶关系，得 $$ \begin{aligned} \complement_U \bigcap_{i\in I}A_i&=\complement_U \{x\in U\mid\forall i\in I,x\in A_i\} \\ &=\{x\in U\mid\neg\left(\forall i\in I,x\in A_i\right)\} \\ &=\{x\in U\mid\exists i\in I,x\in \complement_U A_i\} \\ &=\bigcup_{i\in I}\left(\complement_U A_i\right) \end{aligned} $$ 类似地，有 $$ \complement_U \bigcup_{i\in I}A_i=\bigcap_{i\in I}\left(\complement_U A_i\right) $$ 这是德摩根律在集族上的推广。 ### 7.2. 命题族的与、或 命题族的与、或同样用量词定义。设 $(p_i)_{i\in I}$ 是一族命题，每个 $p_i\in \operatorname{Pred}(U)$。那么 $$ \begin{aligned} \left(\bigwedge_{i\in I}p_i\right)(x)&:=\left(\forall i\in I,p_i(x)\right) \\[10px] \left(\bigvee_{i\in I}p_i\right)(x)&:=\left(\exists i\in I,p_i(x)\right) \end{aligned} $$ 当 $I=\varnothing$ 时，有 $\bigwedge_{i\in\varnothing}p_i=\chi_U$（恒真命题），$\bigvee_{i\in\varnothing}p_i=\chi_{\varnothing}$（恒假命题）。这与空集上的全称/存在量词约定一致 ### 7.3. 命题与真值集合运算的对应 特征集族的交、并对应命题族的与、或 $$ \begin{aligned} \bigcap_{i\in I}A_i&=\mathcal T_U\left(\bigwedge_{i\in I}\chi_{A_i}\right) \\[10px] \bigcup_{i\in I}A_i&=\mathcal T_U\left(\bigvee_{i\in I}\chi_{A_i}\right) \end{aligned} $$ 这样，集族的交、并与命题族的合取、析取通过真值集合完全对应。