一些数学命题的优美证明

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1

命题： 凸 n (n \geq 4) 边形有 {{n(n-3)} \over 2} 条对角线。

证明： 在平面内任意做凸 n 边形，可得到其 n 个顶点。这些顶点两两任意连线，没有线段共线，可得到共 C_{n}^{2} 条线段，其中有 n 条是凸 n 边形的边，剩下的 C_{n}^{2}-n={{n(n-3)} \over 2} 条线段就是其对角线。证毕。

2

命题： 已知两个不相关的离散性有穷随机变量 X 和 Y，它们的期望分别为 E(X) 和 E(Y)，方差分别为 D(X) 和 D(Y)，则 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，D(X+Y)=D(X)+D(Y)。（随机变量期望/方差的线性性）

证明：

(i) 设 X 和 Y 的分布列分别为 P(X=x_i)=p_i(1 \leq i \leq n),P(Y=y_i)=q_i(1 \leq i \leq m)，则

E(X) = \sum_{i=1}^{n}p_ix_i, ~ E(Y) = \sum_{i=1}^{m}q_iy_i

显然有

\sum_{i=1}^{n}p_i=1, ~ \sum_{i=1}^{m}q_i=1,

于是

(ii) 方便起见，记 dx_i = x_i-E(X), dy_i = y_i-E(Y)。首先需要一个引理：

\sum_{i=1}^{n}p_idx_i=0

（其实换成 Y 也一样。）证明很简单：

由于

所以

证毕。

3

命题： \forall n \in N^{+}, 1^2+2^2+3^2+ \dots +n^2 = \sum_{k=1}^{n}k^2 = {1 \over 6}n(n+1)(2n+1)。（前 n 个正整数平方和公式）

证明： 注意到：

写出 n 个这样的等式，全部相加，等式左边就是 1^2+2^2+\dots+n^2，等式右边是：n 个 1 相加，(n-1) 个 3 相加，(n-2) 个 5 相加，……，(n-k+1) 个 (2k-1) 相加，……，1 个 (2n-1) 相加。于是就可以得到：

\sum_{k=1}^{n}k^2 = \sum_{k=1}^{n}(n-k+1)(2k-1)

化简等式右边：

移项可得：

证毕。