《高等数学》习题2.4选做

1. 求下列函数的 $\displaystyle n$ 阶导函数： (1) $\displaystyle y=x^{n}$ 解：$\displaystyle y^{( n)} =n!$ (2) $\displaystyle y=e^{x}$ 解：$\displaystyle \left(\mathrm{e}^{x}\right) '=\mathrm{e}^{x}$，因此 $\displaystyle n$ 阶导还是 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}$。 (3) $\displaystyle y=\frac{1}{1+x}$ 解：$\displaystyle y^{( n)} =\frac{( -1)^{n} n!}{( 1+x)^{n+1}}$ 2. 设 $\displaystyle y=\mathrm{e}^{x}\cos x$，证明 $\displaystyle y''-2y'+2y=0$。 解：直接验证。$\displaystyle y'=\mathrm{e}^{x}(\cos x-\sin x) ,y''=\mathrm{e}^{x}(\cos x-\sin x-\sin x+\cos x) =-2\mathrm{e}^{x}\sin x$。有 $\displaystyle y''-2y'+2y=\mathrm{e}^{x}( -2\sin x+2\sin x-2\cos x+2\cos x) =0$。 4. 设 $\displaystyle y=( 1-x)( 2x+1)^{2}( 3x-1)^{3}$，求 $\displaystyle y^{( 6)} ,y^{( 7)}$。 注意到 $\displaystyle y=-108x^{6} +\cdots $ 是 $\displaystyle 6$ 次多项式，而对 $\displaystyle x^{k} ,k< 6$ 都有 $\displaystyle \left( x^{k}\right)^{( 6)} =0$，因此 $\displaystyle y^{( 6)} =-108\cdot 6!,y^{( 7)} =0$。 5. 要使 $\displaystyle y=\mathrm{e}^{\lambda x}$ 满足方程 $\displaystyle y''+py'+qy=0$，问 $\displaystyle \lambda $ 该取哪些值？ 解：由于 $\displaystyle y^{( n)} =\lambda ^{n} y$，可知原方程等价于 $\displaystyle y\left( \lambda ^{2} +p\lambda +q\right) =0$，也就是方程 $\displaystyle x^{2} +px+q=0$ 的解。 7. 设 $\displaystyle f( x) =\frac{1}{( 1-x)^{n}}$，求 $\displaystyle f^{( k)}( 0)$。 解：$\displaystyle f^{( k)}( x) =( -1)^{k}\frac{( -n)( -n-1) \cdots ( -n-k+1)}{( 1-x)^{n+k}} =n( n+1) \cdots ( n+k-1)$ 8. 设 $\displaystyle y=x^{2}\ln( 1+x)$，求 $\displaystyle y^{( 50)}$。 解：由 $\displaystyle y^{( 50)} =\sum _{k}\binom{50}{k}\left( x^{2}\right)^{( k)} \cdot [\ln( 1+x)]^{( 50-k)}$，有 $$ \begin{aligned} y^{( 50)} & =x^{2} \cdot [\ln( 1+x)]^{( 50)} +50\cdot 2x\cdot [\ln( 1+x)]^{( 49)} +\frac{50\cdot 49}{2} \cdot 2\cdot [\ln( 1+x)]^{( 48)}\\ & =-\frac{49!x^{2}}{( 1+x)^{50}} +\frac{100\cdot 48!x}{( 1+x)^{49}} -\frac{50\cdot 49\cdot 47!}{( 1+x)^{48}} \end{aligned} $$ 11. 验证函数 $\displaystyle y=C_{1}\cos \omega t+C_{2}\sin \omega t$ 是微分方程 $\displaystyle y''+\omega ^{2} y=0$ 的解。 解：$\displaystyle y''=-C_{1} \omega ^{2}\cos \omega t-C_{2} \omega ^{2}\sin \omega t=-\omega ^{2} y$，即证。