《高等数学》习题6.9选做

1. 求下列函数 $\displaystyle z=z( x,y)$ 的极值： (1) $\displaystyle z=x^{2}( x-1)^{2} +y^{2}$ 解：令 $\displaystyle \mathrm{d} z=2x( x-1)( 2x-1)\mathrm{d} x+2y\mathrm{d} y=0$，可知 $\displaystyle y=0,x=0,\frac{1}{2} ,1$，分别有 $\displaystyle z( 0,0) =0,z( 1/2,0) =\frac{1}{16} ,z( 1,0) =0$，可知极值为 $\displaystyle 0$，是极小值。 (4) $\displaystyle z=4xy-x^{4} -y^{4} +5$ 解：令 $\displaystyle \mathrm{d} z=4( x\mathrm{d} y+y\mathrm{d} x) -4x^{3}\mathrm{d} x-4y^{3}\mathrm{d} y=0$，方程 $\displaystyle x=y^{3} ,y=x^{3}$。可知解为 $\displaystyle ( 1,1) ,( -1,-1)$，此时 $\displaystyle z=7$。 (5) $\displaystyle z=x^{3} y^{2}( 6-x-y)$ 解：令 $\displaystyle \mathrm{d} z=0$，方程 $\displaystyle \begin{cases} 3x^{2} y^{2}( 6-x-y) & =2x^{3} y\\ x^{3} y( 5-x-y) & =0 \end{cases}$，若 $\displaystyle x$ 或 $\displaystyle y=0$ 那么 $\displaystyle z=0$，剩余一解 $\displaystyle x=3,y=2$，此时 $\displaystyle z=108$。 2. 确定下列函数在所给条件下的最大最小值。 (1) $\displaystyle z=x^{2} +y^{2}$，当 $\displaystyle \frac{x}{2} +\frac{y}{3} =1$ 时。 解：设 $\displaystyle F( x,y,\lambda ) =x^{2} +y^{2} +\lambda ( 3x+2y-6)$。令 $\displaystyle \mathrm{d} F=0$，列出方程 $$ \begin{cases} 2x+3\lambda & =0\\ 2y+2\lambda & =0\\ 3x+2y-6 & =0 \end{cases} $$ 解得 $\displaystyle x=18/13,y=12/13$。达到最小值 $\displaystyle \frac{36}{13}$。 6. 求椭球面 $\displaystyle x^{2} +y^{2} +\frac{z^{2}}{4} =1$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=0$ 的交线上的点到原点的最大距离与最小距离。 解：设 $\displaystyle F( x,y,z,\lambda ,\mu ) =x^{2} +y^{2} +z^{2} +\lambda \left( 4x^{2} +4y^{2} +z^{2} -4\right) +\mu ( x+y+z)$，列出方程 $$ \begin{cases} 2x+8x\lambda +\mu & =0\\ 2y+8y\lambda +\mu & =0\\ 2z+2z\lambda +\mu & =0\\ 4x^{2} +4y^{2} +z^{2} -4 & =0\\ x+y+z & =0 \end{cases} $$ 解得 $\displaystyle \left( 1/\sqrt{3} ,1/\sqrt{3} ,-2/\sqrt{3}\right) ,\left( 1/\sqrt{2} ,-1/\sqrt{2} ,0\right)$ 以及它们取反。最大最小值分别为 $\displaystyle 2,1$。因此最大最小距离分别为 $\displaystyle \sqrt{2} ,1$。 8. 当 $\displaystyle n$ 个正数 $\displaystyle x_{1} ,x_{2} ,\dotsc ,x_{n}$ 的和为常数 $\displaystyle l$ 时，求乘积的最大值。并证明：$\displaystyle \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}} \leq \frac{a_{1} +\cdots +a_{n}}{n}$。 解：设 $\displaystyle F=x_{1} x_{2} \cdots x_{n} +\lambda ( x_{1} +\cdots +x_{n} -l)$。令 $\displaystyle \mathrm{d} F=0$，列得方程：对每个 $\displaystyle x_{i}$，有 $\displaystyle x_{1} \cdots \overline{x_{i}} \cdots x_{n} =-\lambda $，而 $\displaystyle x_{1} +\cdots +x_{n} =l$。可知 $\displaystyle x_{1} =x_{2} =\dotsc =x_{n}$，因此 $\displaystyle x_{i} =\frac{l}{n}$。此时乘积取到 $\displaystyle ( l/n)^{n}$。因此 $\displaystyle a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \leq ( l/n)^{n}$，移项有 $\displaystyle \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}} \leq \frac{l}{n} =\frac{a_{1} +\cdots +a_{n}}{n}$。 10. 求函数 $\displaystyle f( x,y) =\frac{1}{2}\left( x^{n} +y^{n}\right)$ 在条件 $\displaystyle x+y=A\quad ( A >0)$ 下的最小值。由此证明 $\displaystyle \frac{x^{n} +y^{n}}{2} \geq \left(\frac{x+y}{2}\right)^{n}$。 解：设 $\displaystyle F=x^{n} +y^{n} +\lambda ( x+y-A)$。令 $\displaystyle \mathrm{d} F=0$，列得方程 $$ \begin{cases} nx^{n-1} +\lambda & =0\\ ny^{n-1} +\lambda & =0\\ x+y-A & =0 \end{cases} $$ 因此 $\displaystyle x=y=A/2$，说明最小值为 $\displaystyle ( A/2)^{n}$，也就有 $\displaystyle \frac{x^{n} +y^{n}}{2} \geq \left(\frac{A}{2}\right)^{n} =\left(\frac{x+y}{2}\right)^{n}$。