皮亚诺算术学习笔记
皮亚诺算术学习笔记
五条公理
五条公理是皮亚诺算术的推理基础，它们都是从人类实际生产生活中的使用的概念里抽象出来的。因此，它们在定义时也要符合人类在实际生产生活中形成的认知。
（I）
0 是自然数。本条规定了
0 是自然数，结合后面几条，实际上是在规定自然数开始于0 。如果希望自然数开始于1 ，只需将五条公理中的0 替换为1 ，1 替换为2 ，依此类推即可。但不论开始于哪个数字，都没有本质差别。仅仅规定
0 是自然数还远远不够，需要继续规定自然数满足的其它性质，才能与实际生产生活经验相符合。（II） 任给自然数
a ，存在a 的唯一后继a' 。本条规定了每个自然数都存在唯一后继，这个后继其实就是下一个数。就生产生活经验而言，
0 的后继是1 ，1 的后继是2 。然而，如果使自然数集只包含
0 和1 两个数，且两者互为对方的后继，也符合 （I）（II） 两条公理的要求，却不符合实际生产生活经验，所以还需要继续完善。（III） 任给自然数
a ，a' 都不是0 。本条规定了
0 不能作为任何自然数的后继，形象地理解就是”0 是开头，开头之前不能有东西。然而，如果使自然数集只包含
0,1,2 三个数，0 的后继是1 ，1 的后继是2 ，2 的后继也是2 ，则仍然满足前三条公理的要求，却依旧不符合实际生产生活经验，所以还需要继续完善。（IV） 若
a 和b 是不同的自然数，则a' 与b' 也是不同的自然数。本条规定了不同的自然数有不同的后继，如果考察其逆否命题，实际上也规定了后继相同的自然数本身也一定相同。
至此，对自然数的规定已经大致符合实际生产生活经验了。但是，什么样的集合才能够包含所有自然数而被称为自然数集呢？第五条公理给出了规定。
（V） 若由自然数构成的集合
S 满足：（i）0 \in S （ii） 任给n \in S ,n' \in S ， 则S 就是所有自然数构成的集合。自然数集用N 表示。本条又名归纳公理，规定了什么样的集合能够包含所有自然数而被称为自然数集。它指出如果一个由自然数构成的集合包含
0 ，且集合中的任意元素的后继都在集合中，那么这个集合就是自然数集。这条规定是数学归纳法的基础。先回顾数学归纳法的论证方式：
对于命题函数
p(x) ，若满足：（i）
p(0) （ii）
(k \in N \land p(k)) \rightarrow p(k') 那么
p(x) 对任给x \in N 都成立，即x \in N \rightarrow p(x) 。上面的论证方式中，需要解释的是：为什么满足了（i）（ii）两个条件，就可以保证任给
x \in N 都有p(x) ？第五条公理恰好就给出了解释。设集合S 表示所有使得p(x) 为真的x 构成的集合。那么由（i）有0 \in S ，由（ii）有任给k \in S , k' \in S ，于是由第五条公理就有S=N ，即p(x) 对任给x \in N 都成立。需要特别说明的是：数学归纳法的正确性和第五条公理是等价的。也就是说，第五条公理可以用另一个命题替换：
（V） 若命题函数
p(x) 满足：（i）p(0) （ii）(k \in N \land p(k)) \rightarrow p(k') ，那么有x \in N \rightarrow p(x) 。
逻辑表达版
（I）
0 \in N （II）
a \in N \rightarrow a' \in N （III）
\neg ( a' = 0 ) （IV）
( a \not= b) \rightarrow ( a' \not= b' ) （V）
( S \subseteq N \land 0 \in S \land ( n \in S \rightarrow n' \in S ) ) \rightarrow S = N
约定
五条公理中规定了任给自然数
a 都存在其后继n' ，但并未规定该后继如何表示。本文中约定一个自然数的后继就是习惯上的下一个数字，即0 的后继是1 ,1 的后继是2 ，依此类推。另外，如无特别说明，以后出现的各种字母，如
a,b,k,m 等，都是自然数。
基本性质
- 性质：
0 是唯一不是任何自然数的后继的自然数。
证明：
假设
a \not= 0 ，且不存在b 使得b'=a 。设集合
S 满足0 \in S 。 且任给k \in S, k' \in S 。由于任给
k \in S ，k' \not= a ，而且a \not= 0 ，故a \notin S 。又由第五条公理知
S=N ，于是a \notin N ，不符合要求。于是这样的自然数
a 并不存在。证毕。
加法定义
定义满足如下两点的运算
+ 是加法运算：（I）
a \in N \rightarrow 0 + a = a （II）
a , b \in N \rightarrow a' + b = (a+b)'
加法性质及证明
- 性质（加法的封闭性）：任意自然数作加法运算所得结果仍然是自然数。
证明：
设
S 表示所有使得a+b 的结果为自然数的a 构成的集合。当
a=0 时，由0+b=b \in N 知0 \in S 。假设
a=k 时性质成立，即k+b \in S ，当a=k' 时，k'+b=(k+b)' \in S 由第五条公理知
S=N ，即性质对任给a \in N 都成立。上面已经证明了不论
b 是哪个自然数，只要a 是自然数，a+b 就也是自然数。所以不需要再对b 做归纳，就已经可以证明性质成立。证毕。
- 性质：
1+1=2
证明：
1 + 1 = 0' + 1 = ( 0 + 1 )' = 1' = 2 证毕。
- 性质（加法结合律）：
a+(b+c)=(a+b)+c
证明：
当
a=0 时，显然有0+(b+c)=b+c=(0+b)+c 成立。假设
a=k 时性质成立，当a=k' 时，(k'+b)+c=(k+b)'+c=(k+b+c)'=(k+(b+c))'=k'+(b+c) 证毕。
- 性质：
1+m=m'
证明：
1+m=0'+m=(0+m)'=m' 证毕。
- 性质：
m+1=m'
证明：
当
m=0 时，显然有0+1=1=0' 成立。假设
m=k 时性质成立，当m=k' 时，k'+1=1+k+1=1+(k+1)=1+k'=0'+k'=(0+k')'=k'' 证毕。
- 性质：
1+0=1
证明：
1+0=0'+0=(0+0)'=0'=1 证毕
- 性质：
a+0=a
证明：
当
a=0 或a=1 时显然成立。假设
a=k 时性质成立，当a=k' 时，k'+0=k+1+0=k+(1+0)=k+1=k' 证毕。
- 性质（加法交换律）：
a+b=b+a
证明：
当
a=0 时，显然有0+b=b=b+0 假设
a=k 时性质成立，当a=k' 时，k'+b=(k+b)'=(b+k)'=b'+k 证毕。
乘法定义
定义满足如下两点的运算
\times 是乘法运算：（I）
a \times 0=0 （II）
a \times b' = a \times b + a
乘法性质及证明
- 性质（乘法的封闭性）：任意自然数作乘法运算所得结果仍然是自然数。
证明：
设
S 表示所有使得a \times b 的结果为自然数的b 构成的集合。当
b=0 时，由a \times 0=0 \in N 知0 \in S 。假设
b=k 时性质成立，即a \times k \in S ，当b=k' 时，a \times k'=a \times k +a \in S 由第五条公理知
S=N ，即性质对任给b \in N 都成立。上面已经证明了不论
a 是哪个自然数，只要b 是自然数，a \times b 就也是自然数。所以不需要再对a 做归纳，就已经可以证明性质成立。证毕。
- 性质：
a \times 1=a
证明：
a \times 1=a \times 0'=a \times 0+a=0+a=a 证毕。
- 性质：
1 \times a=a
证明：
当
a=0 时显然成立。假设
a=k 时性质成立，当a=k' 时，1 \times k'=1 \times k+1=k+1=k' 证毕。
- 性质：
0 \times a=0
证明：
当
a=0 时0 \times 0=0 显然成立。假设
a=k 时性质成立，当a=k' 时，0 \times k' = 0 \times k+0=0+0=0 证毕。
- 性质（乘法分配律I）：
(a+b) \times c= a \times c+b \times c
证明：
当
c=0 时显然成立。假设
c=k 时性质成立，当c=k' 时，(a+b)\times k'=(a+b) \times k+a+b=a\times k+b \times k +a+b=(a \times k+a)+(b \times k+b)=a \times k'+b \times k' 证毕。
- 性质（乘法分配律II）：
a \times (b+c)= a \times b+a \times c
证明：
当
c=0 时显然成立。假设
c=k 时性质成立，当c=k' 时，a\times (b+k')=a \times (b+k)'=a \times(b+k)+a=a \times b+a \times k+a=a \times b+(a \times k+a)=a \times b+a \times k' 证毕。
- 性质（乘法交换律）：
a \times b=b \times a
证明：
当
b=0 时显然成立。假设
b=k 时性质成立，当b=k' 时，a \times k'=a \times k+a=k \times a +1 \times a=(k+1) \times a=k' \times a 证毕。
- 性质（乘法结合律）：
(a \times b) \times c=a \times (b \times c)
证明：
当
c=0 时(a \times b) \times 0=0=a \times 0= a \times (b \times 0) 成立。假设
c=k 时性质成立，当c=k' 时，(a \times b) \times k'=a \times b \times k + a \times b=a \times (b \times k) + a \times b=a \times (b \times k+b)=a \times(b \times k') 证毕。
- 性质：
a' \times b=a \times b+b
证明：
a' \times b=b \times a'=b \times a + b=a \times b+b 证毕。
大小关系定义
若存在
x \not= 0 , a+x=b ，则a<b 。若
a<b ，则b>a 。若
\neg (a<b) ，则a \not< b 。若
\neg (a>b) ，则a \not> b 。若
a<b 或a=b ，则a \leq b 。若
a \leq b ，则b \geq a 。
大小关系性质及证明
由定义可知，大于、小于、不大于、不小于的定义没有实质差异，故仅证明小于关系满足的性质，大于、不大于、不小于关系满足的性质可以有定义类比证明。
- 性质（传递性）：若
a<b , b<c ，则a<c 。
证明：
由
a<b,b<c 知存在x,y 使得a+x=b,b+y=c ，则a+x+y=c ，又x+y \in N ，于是a<c 。证毕。
- 性质（反自反性）：
a \not< a 。
证明：
当
a=0 时，对任意x \not= 0 ，都有0+x=x \not= 0 ，故a=0 时性质成立。假设
a=k 时性质成立，当a=k' 时，假设存在
x \not= 0 使得k'+x=(k+x)'=k' ，则k+x=k ，与归纳假设矛盾。故a=k' 时性质也成立。证毕。
- 性质（反对称性）：若
a>b ，则b \not> a 。
证明：
假设
a>b 且b>a ，那么a>a ，与反自反性矛盾，故b \not> a 。证毕。
- 性质：若
a<b ，则a+x<b+x 。
证明：
由
a<b 知存在y \not= 0 使得a+y=b ，于是有a+x+y=b+x ，于是a+x<b+x 。证毕。
- 性质：若
a \leq b ，则a+x \leq b+x 。
证明：
若
a=b ，则显然有a+x=b+x ，则a+x \leq b+x 。若
a \not= b ，则a<b ，则a+x<b+x ，于是a+x \leq b+x 。证毕。