等比数列求和公式的 +∞ 种理解方式

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\#0. 任务简述

求 \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}q^i。

\#1. 方程法

设原式为 S，则 qS = \displaystyle\sum_{i=1}^n q^i，qS-S=(q-1)S=q^n-q^0，S=\dfrac{q^n-1}{q-1}。

这样我们就得到了等比数列求和公式。

\#10. 进制法

我们先来研究 q=10 时。

显然，答案为 \overline{\underbrace{111 \dots 1}_{n \text{ 个 }1}}。

但是我们发现这个还是难以表示，但是我们知道 \overline {\underbrace{999 \dots 9}_{n \text{ 个 }9}} 是 10^n-1，那么原式就是 \dfrac{10^n-1}{9}。

我们尝试研究 q 为任何数字时的求和。

显然，答案是 \left(\overline{\underbrace{111 \dots 1}_{n \text{ 个 }1}}\right)_q，也就是 q 进制下的 \overline{\underbrace{111 \dots 1}_{n \text{ 个 }1}}。

那么，考虑到 \left(\overline{\underbrace{(q-1)(q-1)(q-1) \dots (q-1)}_{n \text{ 个 }(q-1)}}\right)_q = q^n-1，所以原式等于 \dfrac{q^n-1}{q-1}。

\#11. 多项式法

我们把原式显然地转换一下：

S(x)=\sum_{i=0}^{n-1} x^i

则我们要求的显然就是 S(q)。

小 \lfloor 啊，你这也没用啊？

别急。

我们这里在列竖式的时候用 a_n\,a_{n-1}\,a_{n-2}\,\dots\,a_0 来表示一个多项式 \displaystyle\sum_{i=0}^n a_ix^i。

那么 S(x) = \underbrace{1\,1\,1\,\dots\,1}_{n \text{ 个 } 1}。

那么，如果我们能够使用两个好求（这里指非 0 系数的个数为 O(1)）的多项式的和/差/积/商来表示这个多项式，岂不美哉！

我们考虑使用两个好求值的多项式的商来表示这个多项式，我们可以使用抵消的思想。

那么，我们要让多项式的大部分项和自己抵消，就可以把它左移一位，然后再减去自己。

相应地，我们构造多项式 x-1，把这个多项式乘 S 可以得到：

\times&&&&&&1&-1\\ \hline &-1&-1&-1&\dots&-1&-1&-1\\ 1&1&1&1&\dots&1&1\\ \hline 1&0&0&0&\dots&0&0&-1 \end{array}

所以最终，S(x) \times (x-1)=x^n-1，也就是 S(x)=\dfrac{x^n-1}{x-1}。

\#100\sim +\infty. 还是多项式法

我们同样使用抵消的思想，但是考虑换一个多项式。

考虑多项式 x^2-1？

列竖式（过程不写）之后，发现：

&=\dfrac{x^n(x+1)-(x+1)}{(x-1)(x+1)}\\ &=\dfrac{x^n-1}{x-1}\end{aligned}

考虑多项式 x^{\psi}-1，名字是乱起的。

列奇奇怪怪的竖式之后，发现：

\begin{aligned}S(x)&=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=n}^{n+\psi-1}x^i-\sum_{i=0}^{\psi-1}x^i}{x^\psi - 1}\\ &=\dfrac{(x^n-1)\displaystyle\sum_{i=0}^{\psi-1}x^i}{x^{\psi}-1}\\ &=\dfrac{(x^n-1) \times \frac{x^\psi-1}{x-1}}{x^{\psi}-1}&(\text{由等比数列求和公式})\\ &=\dfrac{x^n-1}{x-1}\end{aligned}

这样我们就得到了无穷多种等比数列求和公式的推导方法了。