Hermite-Hadamard型积分不等式在中学阶段的运用
yzxoi
·
·
个人记录
定义
对于定义在 D 上的一个实函数 f(x)，且满足 f^{(3)}(x)<0，则有，\forall x,y\in D,x\not = y，
f'(\frac{x+y}2)>\frac{f(x)-f(y)}{x-y}>\frac{f'(x)+f'(y)}2
简单证明
不妨设 x>y。
先证左边，构造
G(x)=f(x)-f(y)-(x-y)f'(\frac{x+y}2)
对其求导，
G'(x)=f'(x)-f'(\frac{x+y}2)-\frac 12(x-y)f''(\frac{x+y}2)
记 z=\frac{x+y}2<x，则有 x-y=2x-2z
G'(x)=f'(x)-f'(z)-(x-z)f''(z)
由于上凸函数（f'(x)）的割线斜率小于左端点的切线斜率，有
\frac{f'(x)-f'(z)}{x-z}<f''(z)
\Rightarrow G'(x)<0
\Rightarrow G(x)<G(y)=0
从而，
f'(\frac{x+y}2)>\frac{f(x)-f(y)}{x-y}
再证右边，构造
H(x)=f(x)-f(y)-\frac{x-y}2(f'(x)+f'(y))
对其求导，
H'(x)=\frac 12(f'(x)-f'(y))-\frac {x-y}2f''(x)
再求导，
H''(x)=\frac{x-y}2f^{(3)}(x)<0
\Rightarrow H'(x)<H'(y)=0
\Rightarrow H(x)<H(y)=0
从而，
\frac{f(x)-f(y)}{x-y}>\frac{f'(x)+f'(y)}2
例题
（华南师大附中 2023-2024 学年高三开学测 8）已知 a=\frac{1}{10}+\ln 10,b=6\ln11-5\ln9-1,c=\frac{10}{99}+\frac{\ln99}2，则 a,b,c 的大小关系？
令 f(x)=(x+1)\ln x-x，则 a=f'(10)=f'(\frac{9+11}2),b=\frac{f(11)-f(9)}{11-9},c=\frac{f'(9)+f'(11)}2。
f'(x)=\ln x+\frac1x
f''(x)=\frac 1x-\frac1{x^2}
f^{(3)}(x)=-\frac 1{x^2}+\frac 2{x^3}
故 \forall x>2，f^{(3)}(x)<0。
由 Hermite-Hadamard型积分不等式，知
f'(\frac{9+11}2)>\frac{f(11)-f(9)}{11-9}>\frac{f'(9)+f'(11)}2
故 a>b>c。