高显——经典力学阅读 0 : 变分运算小手册

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0. 变分法

0.1 变分的概念

变分就是对函数本身进行小的变化，即将 f(t) 变成另一个函数 \tilde f(t),两者相差为无穷小，即：

\delta f(t) := \tilde f(t) -f(t) \tag{0,1}

这个定义本身是有些模糊和不严谨的，但是我们进一步的引入一些其参与的运算，使其在物理范围内足够我们使用。

然后是一些基本运算法则：

\delta (a f_1 +b f_2) = a \delta f_1 + b \delta f_2 \tag{0.2} \delta (f_1f_2)= (\delta f_1) f_2 + f_1 (\delta f_2) \tag{0.3}

然后是一个很重要的性质：

\delta (\text{d}f)=\text{d}(\delta f) \tag{0.4}

以及会有：

\delta (\frac{\text{d}}{\text{d} t} f(t))=\frac{\text{d}}{\text{d}t}(\delta f(t)) \tag{0.5}

注意，我们已经有以下三种命名：

泛函：对于函数的函数，可以简单看成将函数映射到实数域或者复数域的一个函数。

变分：对某个普通函数本身的无穷小变化。

泛函导数：普通函数的导数是自变量的微小变化引起的，那泛函函数的导数就考虑是由自变量函数的微小变化产生的变动，我们一般都研究泛函导数为 0 的情况。

0.2 泛函

考虑泛函是对于函数的函数，那其映射到某个值，考虑其遍历函数本身的全部范围是很自然的。

我们在经典力学里遇到的泛函可以写成积分形式：

S[f]= \int_{t_1}^{t_2} \text{d} t L (t,f(t),f'(t),f''(t),...) \tag{0.6}

0.2 泛函导数

我们考虑 S[f] 为泛函，而 f(t) 本身是关于自变量 t 的函数。

我们这样考虑泛函导数的形式：

S[\tilde{f}]= S[f + \epsilon \delta f] =S[f] + \epsilon \delta S[f] + \frac{\epsilon^2}{2} \delta^2 S[f]... \tag{0.7}

此时我们也可以将其考虑为只关于 \epsilon 的普通函数，而我们可以考虑这样定义一阶泛函的导数：

\delta S = \frac{\text{d}}{\text{d} \epsilon} S[f+ \epsilon \delta f] , \epsilon =0

我们注意到，泛函可以被看做是多远函数的推广，函数作为自变量可以被考虑为即给了一堆连续的自变量而不是离散的，故而我们可以这样考虑泛函导数的形式：

\delta S =\int \text{d}t \frac{\delta S}{\delta f(t)} \delta f(t) \tag{0.8}

（感觉上后两项和多元函数的导数中的部分有点像，是一种线性化）

()

我们考虑对 (0.6) 求泛函导数；

\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \text{d}t (\frac{\partial L}{\partial f} \delta f + \frac{\partial L}{\partial f'} \delta f' + ...) \tag{0.9}

然后我们用分部积分法以及函数与变分的交换性处理函数导数的变分：

\frac{\partial L}{\partial f'} \delta f'=\frac{\partial L}{\partial f'}\frac{\text{d}}{\text{d}t} \delta f \frac{\partial L}{\partial f'}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\delta f+\frac{\text{d}}{\text{d}t}(\frac{\partial L}{\partial f'})\delta f=\frac{\partial L}{\partial f'}\delta f' \tag{0.10}

这样我们就可以把 \delta f' 换成 \delta f。