一偶函数其极值点发生偏移的证明
jielosc
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个人记录
F(x)=f'(x)-1
由已知得：偶函数F(x)在\ [0 ,1] 上可导.
设g(x)=e^x\cdot F(x)
即证：\exist \ \eta \in (0,1) 使得 g'(\eta )=0\ .
\big(下面试图证明F(x)乘以e^x 后，它的极值点会向右偏移\big)
由 (1) 得：存在 c \in (0,1) 使得, F(c)=F(-c)=0.
由罗尔定理，存在\xi \in (-c,c)，使得 F'(\xi)=0
设 x_m=sup \{ \ \xi \ | \ F'(\xi)=0\}
若 存在 a\in[x_m,c)\ ，F(a)=0 ，由罗尔定理，则存在x>a\ge x_m ，使得 F'(x)=0 ，与 x_m 为上确界矛盾.
$不妨设，F(x)>0 \ \Big( x\in [x_m,c)\Big)
g'(x_m)=e^x \cdot \big(F(x_m)+F'(x_m) \big) >0
\exist \ x_1>x_m \ \ \ 使得g(x_1)>g(x_m)>0=g(c)
由介值定理， 存在\ x_2 \in(x_1,c) \ ,使得 \ g(x_2)=g(x_m)
由罗尔定理，存在\ \eta \in (x_m,x_2),使得\ g'(\eta)=0