高中数学笔记-6-三角函数
第六课 三角函数
目录 [用 Ctrl+F 快速找到要找的内容]
6.三角函数
6.1.任意角与弧度制
6.1.1.度量角的大小
6.1.2.角的分类
6.1.3.扇形
6.2.三角函数
6.2.1.定义
6.2.2.定义域与符号
6.2.3.同角三角函数之间的关系
6.2.4.诱导公式
6.2.5.图像与性质
6.2.6.图像变换
6.3.三角函数公式
6.3.1.和差角公式
6.3.2.二倍角公式
6.3.3.降幂公式
6.3.4.辅助角公式
6.3.5.常见的三角不等式
6.3.6.积化和差公式
6.3.7.和差化积公式1. 任意角与弧度制
-
度量角的大小
角度制、弧度制
对于角度制的
n^\circ ，它所对的弧度制\alpha 满足：\alpha=\dfrac{l}{r}=\dfrac{n\pi}{180} 在一个半径为
r ，圆心角为n^\circ 的扇形中，弧度制的表示就是弧长比半径单位：
1\ \mathrm{rad}=(\dfrac{180}{\pi})^\circ\approx 57.3^\circ 一弧度：长度等于半径长的弧所对的圆心角
在坐标系上表示角：始边为
x 轴正半轴，将其逆时针旋转\alpha 度，得到终边终边与
\alpha 相同的角：\{2k\pi+\alpha,k\in \Z\} -
角的分类
类别 解释 正角 顺时针旋转 \alpha>0^\circ 负角 逆时针旋转 \alpha<0^\circ 零角 无旋转 \alpha=0^\circ 类别 集合 象限角 第一象限角 \{\alpha\vert2k\pi<\alpha<\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,k\in \Z\} 第二象限角 \{\alpha\vert\dfrac{\pi}{2}+2k\pi<\alpha<\pi+2k\pi,k\in \Z\} 第三象限角 \{\alpha\vert\pi+2k\pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi,k\in \Z\} 第四象限角 \{\alpha\vert\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi<\alpha<2\pi+2k\pi,k\in \Z\} 轴线角 终边在坐标轴 \{\alpha\vert\alpha=\dfrac{k\pi}{2},k\in\Z\} 终边在 x 轴\{\alpha\vert\alpha=k\pi,k\in\Z\} 终边在 x 轴正半轴\{\alpha\vert\alpha=2k\pi,k\in\Z\} 终边在 x 轴负半轴\{\alpha\vert\alpha=\pi+2k\pi,k\in\Z\} 终边在 y 轴\{\alpha\vert\alpha=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\Z\} 终边在 y 轴正半轴\{\alpha\vert\alpha=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\Z\} 终边在 y 轴负半轴\{\alpha\vert\alpha=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi,k\in\Z\} -
扇形
弧长公式：
l=\dfrac{n\pi r}{180}=|\alpha|\cdot r 面积公式：
S=\dfrac{n\pi r^2}{360}=\dfrac{1}{2}lr=\dfrac{1}{2}|\alpha|\cdot r^2
2. 三角函数
-
定义
如图，令
|OP|=\sqrt{x^2+y^2}=r 名称 定义 在单位圆上 r=1 正弦 \sin\alpha=\dfrac{y}{r} \sin\alpha=y 余弦 \cos\alpha=\dfrac{x}{r} \cos\alpha=x 正切 \tan\alpha=\dfrac{y}{x} \tan\alpha=\dfrac{y}{x} -
定义域和符号
三角函数 定义域 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 \sin\alpha \alpha\in\R + + - - \cos\alpha \alpha\in\R + - - + \tan\alpha \{\alpha\vert\alpha\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\Z\} + - + - 记忆方法：ASTC（正二切三余四全一）
象限 口诀 解释 第一象限 A 第一象限三个函数全正（All） 第二象限 S 第二象限 \sin 为正第三象限 T 第三象限 \tan 为正第四象限 C 第四象限 \cos 为正 -
同角三角函数之间的关系（切化弦，弦化切）
平方关系：
\sin^2x+cos^2x=1 商数关系：
\dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x 例题：若
\dfrac{3\sin x+4\cos x}{\cos x+2\sin x}=2 ，则1-\sin x\cos x-\cos^2x 的值为？答案
由题目得
2\cos x=\sin x 即
\tan x=2 原式
=\dfrac{\sin^2x-\sin x\cos x}{\sin^2x+\cos^2x}=\dfrac{\tan^2x-\tan x}{\tan^2x+1}=\dfrac{2}{5} -
诱导公式
\sin \cos \tan 公式一 \sin(\alpha+k\cdot2\pi)=\sin\alpha \cos(\alpha+k\cdot2\pi)=\cos\alpha \tan(\alpha+k\cdot2\pi)=\tan\alpha 公式二 \sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha \tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha 公式三 \sin(-\alpha)=-\sin\alpha \cos(-\alpha)=-\cos\alpha \tan(-\alpha)=\tan\alpha 公式四 \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha \tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha 公式五 \sin(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha \cos(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha 公式六 \sin(\dfrac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha \cos(\dfrac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin\alpha 口诀：奇变偶不变，符号看象限
口诀 解释 奇 \dfrac{\pi}{2} 的奇数倍偶 \dfrac{\pi}{2} 的偶数倍变 改变函数名 符号看象限 把 \alpha 当锐角，代入左边的式子，判断正负例题：
\dfrac{\sin(3\pi-\alpha)\cos(\dfrac{\pi}{2}+\alpha)\cos(2\pi-\alpha)\tan(\pi-\alpha)}{\cos(\pi+\alpha)\sin(-\alpha)\sin(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha)\tan(-\pi-\alpha)}= 答案
原式
=\dfrac{\sin\alpha\cdot(-\sin\alpha)\cdot\cos\alpha\cdot(-\tan\alpha)}{(-\cos\alpha)\cdot(-\sin\alpha)\cdot(-\cos\alpha)\cdot(-\tan\alpha)}=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha -
图像与性质
y=\sin x y=\cos x y=\tan x 图像 定义域 x\in\R x\in\R \{x\vert x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\Z\} 值域 y\in[-1,1] y\in[-1,1] y\in\R 最值 当 x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\Z 时y_{\min}=-1 <br>当x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\Z 时y_{\max}=1 当 x=-\pi+2k\pi,k\in\Z 时y_{\min}=-1 <br/>当x=2k\pi,k\in\Z 时y_{\max}=1 周期性 周期： 2k\pi,k\in\Z <br>最小正周期：2\pi <br>y=A\sin(\omega x+\varphi) ：T_{\min}=\dfrac{2\pi}{\vert\omega\vert} 周期： 2k\pi,k\in\Z <br/>最小正周期：2\pi <br/>y=A\cos(\omega x+\varphi) ：T_{\min}=\dfrac{2\pi}{\vert\omega\vert} 周期： k\pi,k\in\Z <br/>最小正周期：\pi <br/>y=A\tan(\omega x+\varphi) ：T_{\min}=\dfrac{\pi}{\vert\omega\vert} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇偶性 若 y=A\sin(\omega x+\varphi) 是奇函数，则\varphi=k\pi,k\in\Z <br/>若y=A\sin(\omega x+\varphi) 是偶函数，则\varphi=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\Z 若 y=A\cos(\omega x+\varphi) 是奇函数，则\varphi=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\Z <br/>若y=A\cos(\omega x+\varphi) 是偶函数，则\varphi=k\pi,k\in\Z 单调性 递增区间： [-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\dfrac{\pi}{2}+2k\pi],k\in\Z <br>递减区间：[\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi],k\in\Z 递增区间： [-\pi+2k\pi,2k\pi],k\in\Z <br/>递减区间：[2k\pi,\pi+2k\pi],k\in\Z 递增区间：<br> (-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\dfrac{\pi}{2}+2k\pi),k\in\Z 对称性 对称轴： x=\dfrac{\pi}{2}+kx,k\in\Z <br>对称中心：(k\pi,0),k\in\Z 对称轴： x=kx,k\in\Z <br/>对称中心：(\dfrac{\pi}{2}+k\pi,0),k\in\Z 无对称轴<br>对称中心： (\dfrac{k\pi}{2},0),k\in\Z -
图像变换
例：从
y=\sin x 到y=A\sin(\omega x+\varphi)+B 从 到 操作 y=\sin x y=A\sin x 纵坐标伸长到原来的 A 倍y=A\sin x y=A\sin(\omega x) 横坐标缩短到原来的 \dfrac{1}{\omega} 倍y=A\sin(\omega x) y=A\sin(\omega (x+\varphi)) 向左平移 \varphi 个单位（左加右减）y=A\sin(\omega (x+\varphi)) y=A\sin(\omega (x+\varphi))+B 向上平移 B 个单位（上加下减）> 例题：为了得到函数 $y=\sin(2x-\dfrac{\pi}{3})$ 的图像，只需把函数 $y=\cos(2x-\dfrac{\pi}{3})$ 的图像（ ） > > A. 向左平移 $\dfrac{\pi}{4}$ 个单位 B. 向右平移 $\dfrac{\pi}{4}$ 个单位 > > C. 向左平移 $\dfrac{\pi}{2}$ 个单位 D. 向右平移 $\dfrac{\pi}{2}$ 个单位 > > --- > > 答案 > > 统一函数名：$y=\cos(2x-\dfrac{\pi}{3})=\sin(2x-\dfrac{\pi}{6}) 由
\sin(2x-\dfrac{\pi}{6}) 到\sin(2x-\dfrac{\pi}{3}) ：向右平移\dfrac{\pi}{4} 个单位故选B
3. 三角函数公式
-
和差角公式
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} -
二倍角公式（升幂缩角）
\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha \tan2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} -
降幂公式
\sin\alpha\cos\alpha=\dfrac{1}{2}\sin2\alpha \cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}{2} \sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}{2} \tan^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha} -
辅助角公式
a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}sin(\alpha+\varphi) 其中
\cos\varphi=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} ，\sin\varphi=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} -
常见的三角不等式
若
x\in(0,\dfrac{\pi}{2}) ，则\sin x<x<\tan x 若
x\in(0,\dfrac{\pi}{2}) ，则1<\sin x+\cos x<\sqrt2 -
积化和差公式
\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)] \cos\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)] \sin\alpha\sin\beta=-\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)] -
和差化积公式
\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2} \sin\alpha-\sin\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2} \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2} \cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2} 口诀：正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，两条余；余减余，余不见，符号很讨厌