关于“三门问题”的有趣模拟

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关于“三门问题”的有趣模拟

理论分析

“三门问题”，是美国一档电视节目《Let’s Make a Deal》（让我们做个交易）中出现的一个问题。问题如下：

我想，大多数人都会觉得换不换门都一样，因为概率好像均为 \frac{1}{2}。然而，事实并非如此。让我们通过数学推论来证明。

先从一个与它相近，但结构更为简单的问题开始。

有甲，乙，丙三人，其中两人将会被处死，而第三人将会被释放。现在，狱卒随机选择两人处死，而让第三人释放。甲想知道谁会被处死。

然而，如果他直接问狱卒的话，狱卒显然是不会告诉他的。于是，他问狱卒乙和丙谁会被处死。狱卒回答他，乙将会被处死。现在，假设甲能与丙互换身份，甲想知道自己互换身份后和不换身份被处死的概率各为多少。

如果甲永远都与丙互换身份，那么甲被处死的概率为 \frac{1}{2}。然而，如果甲不互换身份，那么甲被处死的概率为 \frac{1}{3}。这显然是矛盾的，因为甲互换身份后，被处死的概率不可能比不互换身份时更低。

我们看到了一个惊天大问题：

甲互换身份后，被处死的概率为 \frac{2}{3}，而不换身份被处死的概率为 \frac{1}{3}。

再推回到上一个问题。

如果玩家换门的话，他所能得到汽车的概率为 \frac{2}{3}，原因是只要他选择了一扇有羊的门，互换门后必然能得到汽车。反之，则为 \frac{1}{3}。

我们可以用代码验证这一点。

代码模拟

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
string a[3] = {"car", "sheep", "sheep"}, b[3] = {"sheep", "sheep", "car"}, c[3] = {"sheep", "car", "sheep"}, d[3];
int main() {
    int notc = 0, chan = 0;
    int j = 0;
    srand(time(0));
    while (j < 100000) {
        int n = rand() % 3;
        if (n == 0) {
            for (int i = 0; i < 3; i++) {
                d[i] = a[i];
            }
        } else if (n == 1) {
            for (int i = 0; i < 3; i++) {
                d[i] = b[i];
            }
        } else if (n == 2) {
            for (int i = 0; i < 3; i++) {
                d[i] = c[i];
            }
        }
        int select = rand() % 3;
        if (d[select] == "car") notc++;
        else chan++;
        j++;
    }
    printf("%d %d %.3lf\n", notc, chan, (double)chan / (double)notc);
    if (getchar() != '`') main();
    return 0;
}

相信大家运行代码后，都能得到一样的结果。

这告诉我们一个道理：

不要轻信自己的直觉，有时候，直觉甚至是与现实相左的！