【whk向】解题报告：常见不等式的简单运用

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题面

已知： a,b,c \in \mathbb{R}

求证 ：a^2+b^2+c^2\ge \frac{\left ( a+b+c \right ) ^2}{3}

法一

考虑数形结合。

前置知识

平面 \alpha : Ax+By+Cz+D=0

球：\left ( x-a \right ) ^2+\left ( y-b \right ) ^2+\left ( z-c \right ) ^2=R^2

点 \left ( a,b,c \right ) 到平面 \alpha : Ax+By+Cz+D=0 的距离公式： d=\frac{\left | Aa+Bb+Cc+D \right | }{\sqrt{A^2+B^2+C^2} }

下证

设 d^2 \le a^2+b^2+c^2 ， d 是以 \left ( 0,0,0 \right ) 为球心的半径，则可转化为 \left ( 0,0,0 \right ) 到平面的距离问题。

设 a+b+c=k \Rightarrow a+b+c-k=0

则此时，平面 \alpha : a+b+c-k=0

则有， d=\frac{\left | -k \right | }{\sqrt{3} } =\frac{\left | k \right | }{\sqrt{3} } \Rightarrow d^2 = \frac{ k^2 }{3 }\Rightarrow d^2 = \frac{ \left ( a+b+c \right ) ^2 }{3 }

\therefore d^2 \le a^2+b^2+c^2\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \ge \frac{ \left ( a+b+c \right ) ^2 }{3}

得证！

取等条件

当且仅当 a=b=c=\frac{ k }{3} 时，可以取得等号。

注：该证法若在解答题中（即题目中给出 k 的值，求 a^2+b^2+c^2 的最小值）则没有问题。但若在证明题中，则证明可能略失严谨。限于笔者水平，若有疏漏处，望读者指正。

法二

考虑均值不等式。

前置知识

均值不等式：

H_{n}=\frac{n}{\sum \limits_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}}}= \frac{n}{\frac{1}{x_{1}}+ \frac{1}{x_{2}}+ \cdots + \frac{1}{x_{n}}} \\ G_{n}=\sqrt[n]{\prod \limits_{i=1}^{n}x_{i}}= \sqrt[n]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}} \\ A_{n}=\frac{1}{n}\sum \limits_{i=1}^{n}x_{i}=\frac{x_{1}+ x_{2}+ \cdots + x_{n}}{n} \\ Q_{n}=\sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}= \sqrt{\frac{x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}+ \cdots + x_{n}^{2}}{n}} \\ H_{n}\leq G_{n}\leq A_{n}\leq Q_{n} \end{array}

下证

由均值不等式得： \left\{ \begin{aligned} a^2+b^2 \ge 2ab \\ b^2+c^2 \ge 2bc \\ c^2+a^2 \ge 2ca \\ \end{aligned} \right.

或由此可证:

\left ( a-b \right )^2+ \left ( b-c \right )^2 + \left ( c-b \right )^2 \ge 0 \Rightarrow 2 \left ( a^2+b^2+c^2 \right ) \ge 2 \left ( ab+bc+ca \right ) \Rightarrow a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca

由 2 \left ( a^2+b^2+c^2 \right ) \ge 2 \left ( ab+bc+ca \right ) 可得：

3 \left ( a^2+b^2+c^2 \right ) \ge \left ( a+b+c \right )^2 \Rightarrow a^2+b^2+c^2 \ge \frac{\left ( a+b+c \right ) ^2}{3}

得证！

由 a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca 可得：

\left ( a+b+c \right )^2 \ge 3 \left ( ab+bc+ca \right )^2 \Rightarrow \frac{\left ( a+b+c \right ) ^2}{3}\ge ab+bc+ca

故上述结论可补充为： a^2+b^2+c^2 \ge \frac{\left ( a+b+c \right ) ^2}{3}\ge ab+bc+ca

取等条件

当且仅当 a=b=c 时，可以取得等号。

法三

考虑柯西不等式。

前置知识

柯西不等式 ：

\sum_{i=1}^{n} a_i^2 \sum_{i=1}^{n} b_i \ge \left ( \sum_{i=1}^{n}a_i b_i \right ) ^2

下证

将 \left\{ \begin{aligned} a_1 =a \\ a_2 =b \\ a_3 =c \end{aligned} \right. 与 \left\{ \begin{aligned} b_1 =1 \\ b_2 =1 \\ b_3 =1 \end{aligned} \right. 带入柯西不等式可得：

\left (a^2+b^2+c^2 \right ) \left (1^2+1^2+1^2 \right ) \ge \left (a+b+c \right ) ^2 \Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge \frac{\left ( a+b+c \right ) ^2}{3}

得证！

取等条件

当且仅当 \frac{a_1}{b_1}= \frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}\Rightarrow a=b=c 时，可以取得等号。

法四

考虑幂平均不等式。

前置知识

幂平均：若 p \in \mathbb{R} 且 p \neq 0 ，我们可以定义 a_1,a_2, \dots ,a_n \left ( a_1, a_2,\dots,a_n \in \mathbb{R} \right ) 指数为 p 的幂平均为 M_p\left ( a_1,a_2,\dots ,a_n \right ) = \left ( \frac{a_1^p+a_2^p+\dots+a_n^p}{n} \right ) ^\frac{1}{p} 。

同时定义： M_0\left ( a_1,a_2,\dots ,a_n \right ) = \lim_{p \to 0} M_p\left ( a_1,a_2,\dots ,a_n \right )=\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\dots {} a_n}

幂平均不等式：如果 p \lt q ，则 M_p\left ( a_1,a_2,\dots ,a_n \right ) \le M_q\left ( a_1,a_2,\dots ,a_n \right )

于是，均值不等式就是幂平均不等式的一个特例：

M_{-1}\left ( a_1,a_2,\dots ,a_n \right ) \le M_0\left ( a_1,a_2,\dots ,a_n \right )\le M_1\left ( a_1,a_2,\dots ,a_n \right ) \le M_2\left ( a_1,a_2,\dots ,a_n \right ) \Rightarrow H_{n}\leq G_{n}\leq A_{n}\leq Q_{n}

下证

设 M_1\left ( a,b,c \right )=\frac{a+b+c}{3} ，M_2\left ( a,b,c \right )=\left ( \frac{a^2+b^2+c^2}{3} \right ) ^\frac{1}{2}

\therefore M_1\left ( a,b,c \right ) \le M_2\left ( a,b,c \right )\Rightarrow \frac{a+b+c}{3} \le\left ( \frac{a^2+b^2+c^2}{3} \right ) ^\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{\left ( a+b+c \right ) ^2}{9} \le \frac{a^2+b^2+c^2}{3}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge \frac{\left ( a+b+c \right ) ^2}{3}

得证！

取等条件

当且仅当 a_1=a_2=a_3\Rightarrow a=b=c 时，可以取得等号。

鸣谢

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