02-线性组合、张成空间与基

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线性组合、张成空间与基

线性组合(Linear Combnination)

两个向量标量乘法之和的结果被称为这两个向量的线性组合。

a\vec{v}+b\vec{w}(a,b\in R)

所能取到的值就是 \vec{v} 和 \vec{w} 的线性组合。

当 \vec{v} 和 \vec{w} 不共线时，它们的线性组合则包含它们所在的整个二维空间，但如果共线，它们的线性组合会被始终限制在一条过原点的直线上。当然，如果它们都是 \vec{0}，那么线性组合就只有 \vec{0} 了。

那么同样的，三个向量的线性组合也是如此。

张成空间(Span)

所有可以表示成给定向量的线性组合的向量的集合，被称为给定向量所张成的空间。

而如果一个向量处在其它向量张成的空间里，即它可以表示成其它向量的线性组合，那么它就不会对张成的空间有所贡献，它被称为与其它向量 线性相关(Linearly Dependent) 的。否则，就被称作 线性无关(Linearly Independent)。

基向量(Basis Vector)

如果把一个向量的每个分量看作标量，基向量就是这项标量所缩放的对象。

空间的一个基的严格定义是这样的：张成该空间的一个线性无关向量的集合。