《高等数学》习题4.3选做

Elegia · 2021-07-27 21:05:53 · 个人记录

1. 求下列函数在 \displaystyle x=0 点的局部 Taylor 公式

(1) \displaystyle \sinh x

解：\displaystyle \sinh x=x+\frac{x^{3}}{3!} +\frac{x^{5}}{5!} +\cdots +\frac{x^{2n+1}}{( 2n+1) !} +o\left( x^{2n+1}\right)

(2) \displaystyle \frac{1}{2}\ln\frac{1-x}{1+x}

解：\displaystyle =\frac{1}{2}[\ln( 1-x) -\ln( 1+x)] =-x-\frac{x^{3}}{3} -\frac{x^{5}}{5} -\cdots -\frac{x^{2n+1}}{2n+1} +o\left( x^{2n+1}\right)

(3) \displaystyle \sin^{2} x

解：\displaystyle =\frac{1-\cos 2x}{2} =\frac{2x^{2}}{2!} -\frac{8x^{4}}{4!} +\cdots +( -1)^{n+1}\frac{2^{2n-1} x^{2n}}{( 2n) !} +o\left( x^{2n}\right)

(4) \displaystyle \frac{x^{2} +2x-1}{x-1}

解：由于 \displaystyle \frac{1}{1-x} =1+x+\cdots +x^{n} +o\left( x^{n}\right)，可知原式 \displaystyle =1-x-2x^{2} -2x^{3} -\cdots -2x^{n} +o\left( x^{n}\right)。

(5) \displaystyle \cos x^{3}

解：\displaystyle =1-\frac{x^{6}}{2!} +\frac{x^{12}}{4!} -\cdots +( -1)^{n}\frac{x^{6n}}{( 2n) !} +o\left( x^{6n}\right)

2. 求下列函数在 \displaystyle x=0 点处的局部 Taylor 公式至所指定的阶数：

(1) \displaystyle \mathrm{e}^{x}\sin x\quad \left( x^{4}\right)。

解：\displaystyle \mathrm{e}^{x} =1+x+\frac{x^{2}}{2!} +\frac{x^{3}}{3!} +o\left( x^{3}\right)，而 \displaystyle \sin x=x-\frac{x^{3}}{3!} +o\left( x^{4}\right)，因此乘积为

4. 利用 Taylor 公式求下列极限：

(1) \displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}\frac{1-x^{2} -\mathrm{e}^{-x^{2}}}{x\sin^{3} 2x}

解：上下都是四阶无穷小量，为 \displaystyle =\lim _{x\rightarrow 0}\frac{-\frac{x^{4}}{2} +o\left( x^{4}\right)}{8x^{4} +o\left( x^{4}\right)} =-\frac{1}{16}

(2) \displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}\left(\frac{1}{x} -\frac{1}{\mathrm{e}^{x} -1}\right)

解：\displaystyle =\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\mathrm{e}^{x} -x-1}{x\left(\mathrm{e}^{x} -1\right)}，上下均为二阶无穷小量，\displaystyle =\lim _{x\rightarrow 0}\frac{x^{2} /2+o\left( x^{2}\right)}{x^{2} +o\left( x^{2}\right)} =\frac{1}{2}。

(3) \displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}\left(\frac{1}{x} -\frac{\cos x}{\sin x}\right)\frac{1}{\sin x}

解：\displaystyle =\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x\sin^{2} x} =\lim _{x\rightarrow 0}\frac{x^{3} /3+o\left( x^{3}\right)}{x^{3} +o\left( x^{3}\right)} =\frac{1}{3}。

5. 当 \displaystyle x 较小时，可用 \displaystyle \sin a+x\cos a 近似代替 \displaystyle \sin( a+x)，其中 \displaystyle a 为常数。试证其误差不超过 \displaystyle \frac{1}{2} |x|^{2}。

解：根据带余项的 Taylor 公式，\displaystyle \sin( a+x) =\sin a+x\cos a+\frac{-\sin a}{2!} \xi ^{2}。其中 \displaystyle | \xi | \leq | x| ，又因为 \displaystyle | \sin a| \leq 1，因此 \displaystyle | \sin( a+x) -\sin a-x\cos a| \leq \frac{1}{2}| x| ^{2}。

6. 设 \displaystyle 0< x\leq 1/3，按公式 \displaystyle \mathrm{e}^{x} =1+x+\frac{1}{2} x^{2} +\frac{1}{6} x^{3} 计算 \displaystyle \mathrm{e}^{x} 的近似值时，试证公式误差不超过 \displaystyle 8\times 10^{-4}。

解：根据带余项的 Taylor 公式，\displaystyle \mathrm{e}^{x} =1+x+\frac{1}{2} x^{2} +\frac{1}{6} x^{3} +\frac{1}{24} \xi ^{4}，因此误差不超过 \displaystyle \frac{1}{24} x^{4} \leq \frac{1}{24} \cdot 3^{-4} < 8\times 10^{-4}。