知乎上的「如何（优雅地 / 注意力涣散地 / etc.）证明」系列证明题精编
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「如何证明」系列证明题求证式子左右两边结果之差。
1. \pi>3.14
注意到，
\pi-3.14>\int_{0}^{1}\dfrac{x^3(1-x)^4(4-5x+4x^2)}{5(1+x^2)}dx>0
证毕！
两侧结果相差 0.0015926535\cdots。
2. e^\pi>23
注意到，
\int_{0}^{\pi} e^{x}\left(\cos ^{2} \frac{x}{2}-\sin x\right)^{10} \mathrm{~d} x=\frac{7632879723 e^{\pi}-176058550421}{4334202496}>0
于是，
e^{\pi}>\dfrac{176058550421}{7632879723}>23
证毕！
两侧结果相差 0.1406926327\cdots。
3. \dfrac{e}{\pi}<\dfrac{8}{9}
注意到，
8 \pi-9 e=\int_{0}^{1}\left(x-x^{2}\right)^{2}\left(\frac{(17+4 x) e^{x}}{2}+\frac{2\left(x-x^{2}\right)^{2}\left(41+45 x^{2}\right)}{1+x^{2}}\right) d x>0
证毕！
两侧结果相差 0.0236329094\cdots。
4. \pi>e（优雅地）
注意到，
\pi-e=\int_{0}^{1}\left(x-x^{2}\right)\left(e^{x}+89\left(x-x^{2}\right)^{3}+\frac{x^{5}(1-x)^{3}}{1+x^{2}}\right) d x>0
证毕！
两侧结果相差 0.4233108251\cdots。
5. e<1+\sqrt3
注意到，
\ln (1+\sqrt{3})-1=\int_{1}^{1+\sqrt{3}} \frac{(x-1)^{4}}{x\left(x^{2}+4 x+1\right)^{2}} d x>0
证毕！
两侧结果相差 0.0137689791\cdots。
6. \ln4>\arctan5
注意到，
\ln 4-\arctan 5=\int_{0}^{1} \frac{x^{3}(1-x)^{2}}{253500}\left(\frac{3 x(1+x)^{2}}{25+x^{2}}+\frac{2(1-x)\left(291784-63375 x+101659 x^{2}\right)}{1+x^{2}}\right) d x>0
证毕！
两侧结果相差 0.0128935941。
7. \ln\dfrac{2024}{2022}>2\tan\dfrac{1}{2023}
注意到，
\ln\dfrac{2024}{2022}-2\tan\dfrac{1}{2023}=\int_{0}^{1/2023}\dfrac{2(x-\sin x)(x+\sin x)}{(1-x^2)\cos^2 x}>0
证毕！
两侧结果相差 3.9351334437\cdots\times10^{-18}。
8. \pi^3>31
注意到，
\pi^3-31=\int_0^1\dfrac{8x^5(1-x)^2(324889-120736x^2)}{445625(1+x^2)}\cdot\ln^2xdx>0
证毕！
两侧结果相差 0.0062766802\cdots。