解析函数与幂级数理论 (1)
Gorenstein
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算法·理论
终于有时间来系统写写这方面的内容。
准备工作
复导数
设 U\subset\mathbb C，f:U\to\mathbb C，z\in U。若存在 \mathbb C-线性函数 df|_z\in\operatorname{Hom}_{\mathbb C}(\mathbb C,\mathbb C) 使得对任意 h\in\mathbb C，当 |h|\to 0 时 |f(z+h)-f(z)-df|_z(h)|=o(|h|)，则称 f 在 z 点复可导，df|_z(1) 称作其复导数，记作 f'(z)。注意到复导数存在当且仅当存在 df|_z\in\operatorname{Hom}_{\mathbb C}(\mathbb C,\mathbb C) 使得
\lim_{|h|\to 0}\left|\frac{f(z+h)-f(z)-df|_z(h)}{h}\right|=0,
即
\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)-df|_z(h)}{h}=0,
或
\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{df|_z(h)}{h}.
由于 \dim_{\mathbb C}\mathbb C=1，df|_z(h)=f'(z)h，于是
f'(z)=\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}.
设 f(z)=u(\operatorname{Re}z,\operatorname{Im}z)+iv(\operatorname{Re}z,\operatorname{Im}z)。设 z=x+iy，记 \widetilde f(x,y):=f(x+iy)，下面就不加区分地等同 \widetilde f 和 f。如果 h 从实数趋近 z，则
f'(z)=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x},
如果 h 从纯虚数趋近 z，则
f'(z)=\lim_{s\to 0}\frac{f(z+is)-f(z)}{is}=\frac{\partial u}{i\partial y}+i\frac{\partial v}{i\partial y}=-i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}.
两式必须相等，这给出复可导的一个必要条件。
对 p=x+iy\in\mathbb C，形式地定义
\frac{\partial f}{\partial z}\bigg|_{p}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(x,y)}-i\frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{(x,y)}\right),\qquad\frac{\partial f}{\partial\overline z}\bigg|_{p}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(x,y)}+i\frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{(x,y)}\right),
并定义 dz=dx+i\,dy,\,d\overline z=dx-i\,dy，则
\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial z}\,dz+\frac{\partial f}{\partial\overline z}\,d\overline z&=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y}\right)(dx+i\,dy)+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y}\right)(dx-i\,dy)\\
&=\frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}\,dy=df.
\end{aligned}
定理 1.1 \quad 设 U\subset\mathbb C 是开集，z\in U，则 f:U\to\mathbb C 在 z 点可导当且仅当 \widetilde f 可导且
\frac{\partial f}{\partial\overline z}=0
即
\frac{\partial f}{\partial x}=-i\frac{\partial f}{\partial y}
即
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\qquad\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.
证明 \quad 显然若 f 在 z 点复可导则 \widetilde{f} 在该点实可导，故上面已经说明了必要性。
反之，假设 \widetilde f 实可导且满足 Cauchy-Riemann 方程，则对于 h\in\mathbb R^2，若 |h|\to 0，则 \widetilde f(z+h)-\widetilde{f}=A(h)+o(|h|)，其中
A=\begin{pmatrix}
\frac{\partial u}{\partial x}\big|_{z}&\frac{\partial u}{\partial y}\big|_{z}\\
\frac{\partial v}{\partial x}\big|_{z}&\frac{\partial v}{\partial y}\big|_{z}
\end{pmatrix}.
现在要求 A(\cdot) 是 \mathbb C-线性的。注意到 Cauchy-Riemann 方程保证了 A 形如 \begin{pmatrix}
a&-b\\b&a
\end{pmatrix}，因而 A(\cdot) 就是 (\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x})(\cdot)，从而 f 在 z 点复可导。\square
一个复函数是全纯的，如果它在整个 U 的每个点复可导。
幂级数
定理 1.2 \quad 对每个幂级数 \sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n，存在 R\in[0,\infty]，称作收敛半径，使得
- 级数在 B(0,R) 上绝对收敛；
- 级数在 B(0,R) 上内闭一致收敛；
- 级数在 \mathbb C\setminus\overline{B(0,R)} 上发散，且项是无界的；
d. 在 B(0,R) 上，级数的和解析，其导数为 \sum_{n=1}^{\infty}na_nz^{n-1}，且具有相同的收敛半径；
-
证明 \quad 如果 |z|<R，则存在 \rho\in(|z|,R)，于是 \rho^{-1}>R^{-1}，故 \exists N\in\mathbb N 使得 \forall n\geq N，|a_n|^{1/n}<\rho^{-1}，故 |a_n|<\rho^{-n}，故 |a_nz^n|<(|z|/\rho)^n。于是
\sum_{n=N}^{\infty}\left|a_n\right||z^n|<\sum_{n=N}^{\infty}\left(\frac{|z|}{\rho}\right)^n<\infty,
故幂级数在 z 处绝对收敛。对于给定的 \rho<R，存在 \rho_0\in(\rho,R)，存在 N\in\mathbb N 使得 \forall n\geq N，|a_n|^{1/n}<\rho_0^{-1}，于是同理，对任意 |z|\leq\rho ，对任意 \epsilon>0，存在 \mathbb N'\geq N 使得 \forall n,m\geq N'，有
\sum_{j=n}^{m}\left|a_j\right||z^j|<\sum_{j=n}^{m}\left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)^j<\epsilon,
从而幂级数在 \overline{B(0,\rho)} 上一致收敛，从而它在 B(0,R)上内闭一致收敛。若 |z|>R，则可找到 \rho\in(R,|z|)，故 \rho^{-1}<R^{-1}，于是对任意 N\in\mathbb N 都存在 n>N 使得 |a_n|>\rho^{-n}，故对无穷多个 n，|a_nz^n|>(|z|/\rho)^n，故级数的项是无界的，从而发散。
由于 \sqrt[n]{n}\to 1，\sum-1^{\infty}na_nz^{n-1} 有相同的收敛半径。最后，对于 |z|<R，记
\begin{aligned}
f(z)&=\sum_0^{\infty}a_nz^n=:s_n(z)+R_n(z),\\
s_n(z)&:=a_0+a_1z+\cdots+a_{n-1}z^{n-1},\qquad R_n(z):=\sum_{n}^{\infty}a_jz^j,\\
f_1(z)&:=\sum_1^{\infty}na_nz^{n-1}=\lim_{n\to\infty}s_n'(z).
\end{aligned}
现在来证明 f'=f_1。对任意 z_0\in B(0,R)，考虑恒等式
\begin{aligned}
\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f_1(z_0)=\left(\frac{s_n(z)-s_n(z_0)}{z-z_0}-s_n'(z_0)\right)+(s_n'(z_0)-f_1(z_0))+\frac{R_n(z)-R_n(z_0)}{z-z_0},
\end{aligned}
其中 z\neq z_0 且 |z|,|z_0|<\rho<R。注意到
\begin{aligned}
\frac{R_n(z)-R_n(z_0)}{z-z_0}&=\frac{1}{z-z_0}\sum_{j=n}^{\infty}(a_jz^j-a_jz_0^j)\\
&=\frac{1}{z-z_0}\sum_{j=n}^{\infty}(z-z_0)a_j(z^{j-1}+z^{j-2}z_0+\cdots+zz_0^{j-2}+z_0^{j-1})\\
&=\sum_{j=n}^{\infty}a_j(z^{j-1}+z^{j-2}z_0+\cdots+zz_0^{j-2}+z_0^{j-1}),
\end{aligned}
于是当 n\to\infty 时
\left|\frac{R_n(z)-R_n(z_0)}{z-z_0}\right|\leq\sum_{j=n}^{\infty}j|a_j|\rho^{j-1}\to 0.
另一方面，|s_n'(z_0)-f_1(z_0)|\to 0，于是存在 N\in\mathbb N 使得对于 n\geq\mathbb N，上两项各自小于 \epsilon/3。任取这样的 n，由导数的定义，存在 \delta>0 使得 \forall z\in B(z_0,\delta) 都有
\left|\frac{s_n(z)-s_n(z_0)}{z-z_0}-s_n'(z_0)\right|<\frac{\epsilon}{3}.
综合可知
\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f_1(z_0)\right|<\epsilon,
于是 f_1(z_0)=f'(z_0)。\square
柯西积分定理
线积分
设 \gamma:[a,b]\to\mathbb C 的方程为 z(t)，定义
\int_{\gamma}f\,dz:=\int_a^bf(z(t))z'(t)\,dt
以及
\int_{\gamma}f\,d\overline{z}:=\overline{\int_{\gamma}\overline f\,dz}=\int_a^bf(z(t))\overline{z'(t)}\,dt.
对于 dx=\frac{1}{2}(dz+d\overline{z}),\,dy=\frac{1}{2i}(dz-d\overline{z})，定义
\begin{aligned}
\int_{\gamma}f\,dx:=\frac{1}{2}\left(\int_{\gamma}f\,dz+\int_{\gamma}f\,d\overline{z}\right),\\
\int_{\gamma}f\,dy:=\frac{1}{2i}\left(\int_{\gamma}f\,dz-\int_{\gamma}f\,d\overline{z}\right),
\end{aligned}
则
\begin{aligned}
\int_{\gamma}f\,dz=\int_{\gamma}f\,dx+i\int_{\gamma}f\,dy,\qquad\int_{\gamma}f\,d\overline z=\int_{\gamma}f\,dx-i\int_{\gamma}f\,dy.
\end{aligned}
记 x:=\operatorname{Re}z,\,y:=\operatorname{Im}z,\,u:=\operatorname{Re}f,\,v:=\operatorname{Im}f，则
\begin{aligned}
\begin{aligned}
\int f\,dx&=\int_a^bf(z(t))x'(t)\,dt=\int_{\gamma}u\,dx+i\int_{\gamma}v\,dx,\\
\int f\,dy&=\int_a^bf(z(t))y'(t)\,dt=\int_{\gamma}u\,dy+i\int_{\gamma}v\,dy,\\
\int f\,dz&=\int_{\gamma}(u\,dx-v\,dy)+i\int_{\gamma}(v\,dx+u\,dy),\\
\int f\,d\overline z&=\int_{\gamma}(u\,dx+v\,dy)+i\int_{\gamma}(v\,dx-u\,dy).\\
\end{aligned}
\end{aligned}
定义对于弧长的积分为
\int_{\gamma}f\,ds=\int_{\gamma}f\,|dz|:=\int_a^bf(z(t))|z'(t)|\,dt.
可求长的弧
一段弧的长度定义为
l(\gamma):=\sup_{n,a=t_0<\cdots<t_n=b}\sum_{1}^n|z(t_j)-z(t_{j-1})|.
如果 l(\gamma)<\infty，则称 \gamma 可求长。
定理 2.3 \quad 弧 \gamma:z=z(t) 可求长当且仅当其实部和虚部都是有界变差的。
证明 \quad 注意到 |x(t_j)-x(t_{j-1})|\leq|z(t_j)-z(t_{j-1})| 且 |y(t_j)-y(t_{j-1})|\leq|z(t_j)-z(t_{j-1})|，而 |z(t_j)-z(t_{j-1})|\leq|x(t_j)-x(t_{j-1})|+|y(t_j)-y(t_{j-1})|，
因而如果 x(t),y(t) 有界变差则 l(\gamma)<\infty，反之，若 l(\gamma)<\infty 则 x(t),y(t) 皆有界变差。\square
定理 2.4 \quad 若 \gamma:[a,b]\to\mathbb C\xrightarrow{\sim}\mathbb R^2 是 C^1 的，则 \gamma 可求长，且 l(\gamma)=\int_{\gamma}\,ds=\int_a^b|z'(t)|\,dt。
证明 \quad 令 P 为 [a,b] 的一个划分，则 |z(t_{j+1})-z(t_j)|=\left|\int_{t_j}^{t_{j+1}}z'(t)\,dt\right|\leq\int_{t_j}^{t_{j+1}}|z'(t)|\,dt，故
l_{P}(\gamma)=\sum_{0}^{n-1}|z(t_{j+1})-z(t_j)|\leq\sum_{0}^{n-1}\int_{t_j}^{t_{j+1}}|z'(t)|\,dt=\int_{a}^{b}|z'(t)|\,dt<\infty,
从而 l(\gamma)<\infty，\gamma 可求长。由于 z'(t) 在 [a,b] 上连续，故它一致连续，则对于任意 \epsilon>0，存在 \delta>0 使得 \forall s,t\in[a,b],\,|t-s|<\delta，都有 |z'(t)-z'(s)|<\epsilon。取划分 P 使得 \forall j,\,|t_j-t_{j-1}|<\delta。于是对任意 t\in[t_j,t_{j+1}]，|z'(t)-z'(t_{j})|<\epsilon。从而
\begin{aligned}
\int_{t_j}^{t_{j+1}}|z'(t)|\,dt&\leq\int_{t_j}^{t_{j+1}}|z'(t_j)|\,dt+\int_{t_j}^{t_{j+1}}|z'(t)-z'(t_j)|\,dt\\
&<\left|\int_{t_j}^{t_{j+1}}z'(t_j)\,dt\right|+(t_{j+1}-t_j)\epsilon\\
&\leq\left|\int_{t_j}^{t_{j+1}}z'(t)\,dt\right|+\left|\int_{t_j}^{t_{j+1}}(z'(t_j)-z'(t))\,dt\right|+(t_{j+1}-t_j)\epsilon\\
&<\left|\int_{t_j}^{t_{j+1}}z'(t)\,dt\right|+2(t_{j+1}-t_j)\epsilon\\
&=|z(t_{j+1})-z(t_j)|+2(t_{j+1}-t_j)\epsilon.
\end{aligned}
于是
\begin{aligned}
\int_{a}^{b}|z'(t)|\,dt&=\sum_0^{n-1}\int_{t_j}^{t_{j+1}}|z'(t)|\,dt\\
&<\sum_0^{n-1}\big(|z(t_{j+1})-z(t_j)|+2(t_{j+1}-t_j)\epsilon\big)\\
&=l_P(\gamma)+2(b-a)\epsilon<l(\gamma)+2(b-a)\epsilon.
\end{aligned}
由于 \epsilon 是任意的，取 \epsilon\to 0 即得 l(\gamma)=\int_{\gamma}\,ds=\int_a^b|z'(t)|\,dt。\square
若 \gamma 是 C^1 的，f(z) 在 \gamma 上连续，则 f(z(t))|z'(t)| 是一致连续的。
柯西积分定理
将映射拆为实部和虚部后，有关恰当形式、闭形式、曲线积分之间关系的定理都可以直接应用。如果 p,q 分别是某个复函数 U 对 x 和 y 的偏导，则积分 \int_{\gamma}(p\,dx+q\,dy) 只与端点有关。事实上，设 p=a+ib,q=c+id，则
p\,dx+q\,dy=(a+ib)\,dx+(c+id)\,dy=(a\,dx+c\,dy)+i(b\,dx+d\,dy),
如果分别能找到 V,W 使得 dV=a\,dx+c\,dy,dW=b\,dx+d\,dy，则 U:=V+iW 满足 dU=p\,dx+q\,dy。反之，若存在复值函数 U 使得 dU=p\,dx+q\,dy，那么设 U=V+iW，则
\frac{\partial U}{\partial x}=a\,dx+ib\,dx=\frac{\partial V}{\partial x}+i\frac{\partial W}{\partial x},
得 \partial V/\partial x=a,\,\partial W/\partial x=b，同理，得 \partial V/\partial y=c,\,\partial W/\partial y=c，于是 a\,dx+c\,dy,\,b\,dx+d\,dy 各自是恰当的，所以积分 \int_\gamma(p\,dx+q\,dy) 与端点无关。
若积分 \int_{\gamma}f\,dz 与具体路径无关，即 f\,dz 是恰当的，则存在 F(z) 使得 d\partial F=f\,dx+if\,dy，故
\frac{\partial F}{\partial x}=f,\qquad\frac{\partial F}{\partial y}=if,
故 F(z) 满足 Cauchy-Riemann 方程。
从上面这些讨论中已经可以得出，由于 dz，z\,dz 都是恰当的，或更一般地，z^n\,dz\,(n\geq 0) 都恰当，所以只要积分是闭的，就都有
\oint dz=\oint z\,dz=\oint z^n\,dz=0.
其次，如果区域是单连通的，f 全纯且偏导数连续，则 \oint f\,dz=0。这是因为由 Cauchy-Riemann 方程，分别有
\begin{aligned}
d(u\,dx-v\,dy)&=-\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)dx\wedge dy=0,\\
d(v\,dx+u\,dy)&=\left(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}\right)dx\wedge dy=0,
\end{aligned}
于是 f\,dz 是恰当的，这就得到 \oint f\,dz=0。
上面这就是最开始柯西给出的证明。在庞加莱引理的推论中，如果 U 单连通，则 U 上闭与恰当等价，但在庞加莱引理的证明中要求 f 的各偏导数连续。后来，Goursat 发现偏导数连续这个条件是多余的，于是这就给出了下面这个第一种情况的柯西积分定理。
定理 2.5 (Goursat) \quad 设 R 是矩形，f 在 \overline{R} 上全纯，则
\int_{\partial R}f\,dz=0.
证明 \quad 对于区域 H，记 \eta(H):=\int_{\partial H}f\,dz。对于 R，我们将其分为四个全等的 R_1^1,R_2^1,R_3^1,R_4^1，则
\eta(R)=\eta(R_1)+\eta(R_2)+\eta(R_3)+\eta(R_4).
是故至少有一个 R_{j_1}^1 满足 |\eta(R_j^1)|\geq 4^{-1}|\eta(R)|。对这个 R_{j_1}^1 继续划分，又有一 R_{j_2}^2 满足 |\eta(R_{j_2}^2)|\geq 4^{-1}|\eta(R_{j_2}^2)|。依此类推，可以得到一列递降的矩形 \{R_{j_k}^k\}_{k=1}^{\infty}，其中 |\eta(R_{j_k}^k)|\geq 4^{-k}|\eta(R)|。由康托相交定理，\bigcap_{k=1}^{\infty}R_{j_k}^k=z_0\in\mathbb R。由于 R 在 z_0 点复可导，对任意 \epsilon>0，存在 \delta>0 使得
|f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0)|<\epsilon|z-z_0|,\qquad\forall z\in B(z_0,\delta).
取充分大的 n 使得 R_{j_n}^n\subset B(z_0,\delta)，令 R_n:=R_{j_n}^n。在前面的讨论中已经知道对 \,dz 和 z\,dz 的积分为零，于是
\begin{aligned}
|\eta(R_n)|&=\left|\int_{\partial R_n}(f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0))\,dz\right|\\
&\leq\int_{\partial R_n}|f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0)|\,|dz|<\epsilon\int_{\partial R_n}|z-z_0|\,ds.
\end{aligned}
设原矩形对角线长为 d，周长为 L，则 R_n 的对角线长 d_n=2^{-n}d，周长 L_n=2^{-n}L，于是
4^{-n}|\eta(R)|\leq|\eta(R_n)|<\epsilon\int_{\partial R_n}d_n\,ds=\epsilon d_nL_n=4^{-n}\epsilon dL,
即 |\eta(R)|<\epsilon dL。由于 \epsilon 是任意的，得 \int_{\partial R}f\,dz=\eta(R)=0。\square
定理 2.6 \quad 设 R 是矩形，其内部有有限个点 \{\zeta_j\}_1^n，f 在 \overline R\setminus\{\zeta_j\} 上全纯。如果
\lim_{z\to\zeta_j}(z-\zeta_j)f(z)=0,\qquad\forall j=1,2,\cdots,n,
则
\int_{\partial R}f\,dz=0.
证明 \quad 可以将 R 分解为小矩形，使得每个矩形仅包含一个 \zeta_j。于是问题转化到独点集 \{\zeta_j\}=\{\zeta\} 的情况。在这样的情况下，我们将 R 分为九个小矩形，只有中央一个矩形 R_0 包含 \zeta。对其余八个矩形应用第一个情况的柯西积分定理，再将积分全部加起来，可以得到
\int_{\partial R}f\,dz=\int_{\partial R_0}f\,dz.
对任意 \epsilon，由定理条件知可取充分小的 R_0，使得在 \partial R 上 |f(z)|<\epsilon/|z-\zeta|。由于这样的 R_0 是任取的，不妨设 R_0 是正四边形且 \zeta 在 R_0 的中心。则
\left|\int_{\partial R_0}f\,dz\right|\leq\epsilon\int\frac{|dz|}{|z-\zeta|}.
现在来估计右端的积分。这个积分是对称的，故我们只需计算其中一条边。不妨设 R_0 边长为 2s，平移后 \zeta=0，考虑矩形的上边，则 |dz|=dx，|z|\geq s。于是对上边的积分小于 \int_{-s}^s\frac{dx}{s}=2，综合可知
\int_{\partial R_0}\frac{|dz|}{|z-\zeta|}<8,\qquad \left|\int_{\partial R_0}f\,dz\right|<8\epsilon.
由于 \epsilon 是任取的，命题得证。\square
有了矩形的柯西积分定理，就可以在不要求 f 偏导连续的情况下证明圆盘上的柯西积分定理。
定理 2.7 \quad 设 f 在开圆盘 D 上全纯，则对 D 中每条闭曲线 \gamma，都有
\int_{\gamma}f\,dz=0.
证明 \quad 设圆心为 x_0+iy_0。对于 x+iy\in D，定义 \sigma 为从 x_0+iy_0 引水平线到 x+iy_0，再引垂直线到 x+iy 的路径。由 Goursat 定理可知，设 \tau 为先引垂直线，再引水平线的路径，则 f 沿这两条路的积分相等。令
F(z)=\int_{\sigma}f\,dz=\int_{\tau}f\,dz,
分别对偏 x 和偏 y 考虑 \tau 和 \sigma 这两条路径的积分，可知
\frac{\partial F}{\partial x}\bigg|_{z}=f(z),\qquad\frac{\partial F}{\partial y}\bigg|_z=if(z),
故 f\,dz 是恰当的，从而 f 在任意闭曲线上的积分为零。\square
推论 2.8 \quad 设 D 是开源盘，其内部有有限个点 \{\zeta_j\}_1^n。设 f 在 D 上全纯，且
\lim_{z\to\zeta_j}(z-\zeta_j)f(z)=0,\qquad\forall j=1,2,\cdots,n,
则对 D 中每条闭曲线 \gamma，都有
\int_{\gamma}f\,dz=0.
证明 \quad 将上一定理证明中运用的 Goursat 定理替换为带挖空点的版本即可。\square