微积分学习

CSP_Sept · 2020-09-05 13:16:05 · 个人记录

0 Why？

今天（指 2020.09.05）是 PhO 初赛，我妈让我做试卷，我说要学微积分才能搞物理竞赛，她就激我学 /dk

1. 定积分

1.1 定积分的概念与性质

1.1.1 求曲边梯形的面积

我们把曲边梯形分成 n 个区间 [x_{i-1},x_i]，于是每一块的长度 \Delta x_i=x_i-x_{i-1}。我们在每个区间上任取一个点 \xi_i，则以 [x_{i-1},x_i] 为底，\xi_i 为高的矩形的面积为

A_i=f(\xi_i)\Delta x_i

于是总面积

A\approx\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i

当无穷分割时，最长区间长度 \lambda=\max\{\Delta x_1,\Delta x_2,\cdots,\Delta x_n\} 越来越趋于 0（\lambda\to 0）时，曲边梯形面积

A=\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i

1.1.2 求变速直线运动的总路程

已知速度 v=v(t) 是时间间隔 [T_1,T_2] 上 t 的一个连续函数，且 v(t)\ge 0，求物体在这段时间内经过的路程。

分割。
- T_1=t_0<t_1<\cdots<t_{n-1}<t_n<T_2
- \Delta t_i=t_i-t_{i-1}
- \Delta s_i\approx v(\tau_i)\Delta t_i
求和
- s\approx\sum\limits_{i=1}^nv(\tau_i)\Delta t_i
取极限
- \lambda=\max\{\Delta t_1,\Delta t_2,\cdots,\Delta t_n\}
- s=\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum\limits_{i=1}^nv(\tau_i)\Delta t_i

1.2 微积分的定义

当函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的定积分存在时，称 f(x) 在区间 [a,b] 上可积。

1.3 存在定理

[1.3.1] 当函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续时，称 f(x) 在区间 [a,b] 上可积。
[1.3.2] 设函数 f(x) 在区间 [a,b] 上有界，且只有有限个第一类的间断点，则 f(x) 在区间 [a,b] 上可积。

1.4 定积分的几何意义

先随手画一个曲线梯形：

\begin{cases} \int_a^bf(x)dx=A\ \ [f(x)>0]\\ \int_a^bf(x)dx=-A\ \ [f(x)<0] \end{cases}

如上图，

\int_a^bf(x)dx=A_1-A_2+A_3-A_4

容易发现，定积分是介于 x 轴、函数 f(x) 和直线 x=a,x=b 之间各部分的面积和。x 轴上方的取正号，x 轴下方的取负号。

例 1 计算 \int_0^1x^2dx 的值。

解将 [0,1] n 等分，分点为 x_i=\dfrac{i}{n}(i\in[1,n])，则 \Delta x_i=\dfrac{1}{n}(i\in[1,n])，令 \xi_i=x_i(i\in[1,n])。
\begin{matrix} \sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i=\sum\limits_{i=1}^nx_i^{\ 2}\Delta x_i\\ =\sum\limits_{i=1}^n\left(\dfrac{i}{n}\right)^2\cdot\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{n^3}\sum\limits_{i=1}^ni^2=\dfrac{1}{n^3}\cdot \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\dfrac{1}{6}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(2+\dfrac{1}{n}\right)\\ \lambda\to 0\Rightarrow n\to\infty\\ \therefore \int_0^1x^2dx=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{6}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(2+\dfrac{1}{n}\right)\dfrac{1}{6}\cdot1\cdot2=\dfrac{1}{3} \end{matrix}

1.5 定积分的性质

性质 1：\int_a^b\left[f(x)\pm g(x)\right]dx=\int_a^bf(x)dx\pm\int_a^bg(x)dx

（此性质也可以拓展到多个函数相加减的情况。）
性质 2：\int_a^bkf(x)dx=k\int_a^bf(x)dx（k 是常数）
性质 3：若 a<c<b，则 \int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx

定积分对于积分区间有可加性。
性质 4：\int_a^b1\cdot dx=\int_a^bdx=b-a
性质 5：如果在区间 [a,b] 上 f(x)\ge 0，则 \int_a^bf(x)dx\ge 0。（a<b）
性质 5 推论
- 推论 1：如果在区间 [a,b] 上 f(x)\le g(x)，则 \int_a^bf(x)dx\le \int_a^bg(x)dx。（a<b）
- 推论 2：\left|\int_a^bf(x)dx\right|\le\int_a^b|f(x)|dx（a<b）
性质 6：设 M,m 分别是 f(x) 在区间 [a,b] 上的最大值和最小值，则 m(b-a)\le\int_a^b\le M(b-a)

例 2 比较积分值 \int_0^{-2}e^xdx 和 \int_0^{-2}xdx 的大小。

解令 f(x)=e^x-x,x\in[-2,0]
\begin{matrix} \because f(x)>0,\therefore \int_{-2}^0(e^x-x)dx>0,\\ \therefore\int_{-2}^0e^xdx>\int_{-2}^0xdx\\ \therefore\int_0^{-2}e^xdx<\int_0^{-2}xdx \end{matrix}

性质 7（定积分第一中值定理）：如果函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，则在积分区间 [a,b] 上至少存在一个点 \xi，使 \int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)。（a\le\xi\le b）

性质 8（推广的定积分第一中值定理）：如果函数 f(x),g(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，且 g(x) 在闭区间 [a,b] 上可积且不变号，则在积分区间 [a,b] 上至少存在一个点 \xi 使

\int_a^bf(x)g(x)dx=f(\xi)\int_a^bg(x)dx

例 3 求 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin x}{x}dx 的取值范围。

解
\begin{matrix} f(x)=\dfrac{\sin x}{x},x\in[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}].f(x)\text{ 在 }[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}]\text{ 上单调下降.}\\ f'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}=\dfrac{\cos x(x-\tan x)}{x^2}<0\\ \text{故 }x=\dfrac{\pi}{4}\text{ 为极大点, }x=\dfrac{\pi}{2}\text{ 为极小点.}\\ M=f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{2\sqrt2}{\pi},m=f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{2}{\pi},\\ \because b-a=\dfrac{\pi}{4},\\ \therefore \dfrac{2}{\pi}\cdot\dfrac{\pi}{4}\le \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin x}{x}dx\le \dfrac{2\sqrt2}{\pi}\cdot\dfrac{\pi}{4}\\ \therefore \dfrac{1}{2}\le \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin x}{x}dx\le \dfrac{\sqrt2}{2} \end{matrix}

1.6 积分上限函数及其导数

\Phi(x)=\int_a^xf(t)dt

x. 参考文献

微积分入门（精华）