完整的 Coulomb 定律：从推迟势到 Liénard–Wiechert 势

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本文中，{\bf r}' 代表源点的位置矢量，\bf r 代表场点的位置矢量，\bm r = {\bf r - r}' 代表从源点到场点的位移矢量，无粗体的字母表示该矢量的长度（如 r = |{\bf r}|）．

众所周知，在电动力学中，非静态场源 \rho({\bf r}', t), {\bf J(r}', t) 所产生的电磁势（在 Lorenz 规范下）由推迟势描述：

V({\bf r}, t) = \frac1{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho({\bf r}', t_r)}{r} \mathrm d{\bf r}', \quad {\bf A(r}, t) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int \frac{{\bf J(r}', t_r)}{r} \mathrm d{\bf r}'.

其中 t_r = t - \dfrac{r}c，称作推迟时间．实践中，我们对点电荷运动产生的电磁势感兴趣．不妨设点电荷 q 的运动轨迹由 {\bf w}(t) 描述，则 \rho({\bf r}', t) = q\delta^3({\bf w}(t) - {\bf r}')，且点电荷的推迟时间满足如下方程：

|{\bf r - w}(t_r)| = c (t - t_r).

容易发现，若粒子的速度小于光速，上式最多有一个解．为了避免变量重名，假设现在要求解 t_0 时刻 {\bf r}_0 位置的电磁势，上式有唯一解 t_r，且 {\bf w}(t_r) = {\bf r}_0', {\bm r}_0 = {\bf r - r}_0'，那么，我们只需要计算积分：

\frac1{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho({\bf r}', t_r)}{r} \mathrm d{\bf r}' = \frac{q}{4\pi\epsilon_0r_0} \int \delta^3\left({\bf w}\left(t_0 - \frac rc\right) - {\bf r}'\right) \mathrm d{\bf r}'.

考虑到 \delta 只在原点处非零，我们只需要关心 \delta^3 的自变量在 {\bf w}(t_r) 附近的取值．具体而言，先进行换元：

\Delta{\bf r} = {\bf r}' - {\bf r}_0'.

则 \delta 函数在 \Delta\bf r = 0 处非零，积分变为：

\int \delta^3 \left({\bf w}\left(t_0 - \frac{|{\bm r}_0 - \Delta{\bf r}|}c\right) - {\bf r}_0' - \Delta{\bf r}\right)\mathrm d\Delta{\bf r}'

我们只需要关心 \Delta\bf r = 0 附近的区域，因此我们取 |{\bm r}_0 - \Delta{\bf r}| 的一阶近似：

|{\bm r}_0 - \Delta{\bf r}| \approx r_0 - \hat{\bm r}_0 \cdot \Delta{\bf r}.

其中 \hat{\bm r}_0 = \dfrac{\bm r_0}{r_0} 为 \bm r_0 方向上的单位向量．设粒子在 t_r 时刻的速度为 \bf v：

{\bf v} = \left.\frac{\mathrm d{\bf w}(t)}{\mathrm dt}\right|_{t_r}

那么我们可以将 \bf w 近似为

{\bf w}(t) \approx {\bf r}_0' + (t - t_r){\bf v}.

因此

\begin{aligned}{\bf w}\left(t_0 - \frac{|{\bm r}_0 - \Delta{\bf r}|}c\right) &\approx {\bf w}\left(t_0 - \frac{r_0 - \hat{\bm r}_0 \cdot \Delta{\bf r}}c\right) \\ &= {\bf w}\left(t_r + \frac{\hat{\bm r}_0 \cdot \Delta{\bf r}}c\right) \\ &\approx {\bf r}_0' + \frac{\hat{\bm r}_0 \cdot \Delta{\bf r}}c{\bf v}.\end{aligned}

原积分变为：

\int \delta^3 \left(\frac{\hat{\bm r}_0 \cdot \Delta{\bf r}}c{\bf v} - \Delta{\bf r}\right)\mathrm d\Delta{\bf r}'

注意到 \delta^3 的自变量可以写成 M \cdot \Delta \bf r 的形式，其中 M 是可逆矩阵．直接换元，可得：

\int\delta^3(M \cdot {\bf v}) \mathrm d{\bf v} = \frac1{|\det M|}.

回到原积分，不妨设 \dfrac{\hat{\bm r}_0}c = (a, b, c), {\bf v} = (d, e, f)，注意第一个等号右侧的 c 不是光速．则：

\frac{\hat{\bm r}_0 \cdot \Delta{\bf r}}c{\bf v} - \Delta{\bf r} = \begin{bmatrix}ad-1&bd&cd\\ae&be-1&ce\\af&bf&cf-1\end{bmatrix}\Delta{\bf r}.

直接暴力计算可以验证：

\det\begin{bmatrix}ad-1&bd&cd\\ae&be-1&ce\\af&bf&cf-1\end{bmatrix} = ad + be + cf - 1.

物理群群友给出了更优秀的做法：若列向量 {\bf u, v} \in \mathbb R^n，则 {\bf u \otimes v} 的特征值是 n-1 个 0 与一个 \bf u \cdot v，因此 \det({\bf u \otimes v} - I_n) = (0 - 1)^{n - 1} ({\bf u \cdot v} - 1) = (-1)^{n-1} ({\bf u \cdot v} - 1)，代入 n = 3 即得到上式．

因此：

\int \delta^3 \left(\frac{\hat{\bm r}_0 \cdot \Delta{\bf r}}c{\bf v} - \Delta{\bf r}\right)\mathrm d\Delta{\bf r}' = \frac1{|\hat{\bm r}_0\cdot {\bf v} / c - 1|} = \frac1{1 - \hat{\bm r}_0\cdot {\bf v} / c}.

我们终于得到了 V 的表达式：

V({\bf r}, t) = \frac1{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{qc}{rc - \bm r \cdot \bf v}.

对于 A，只需注意到 {\bf J} = \rho \bf v，因此：

\int \frac{{\bf J(r}', t_r)}{r} \mathrm d{\bf r}' = \frac{\bf v}{r} \int \rho{(\bf r}', t_r) \mathrm d{\bf r}'.

即可得到 A 的表达式：

{\bf A(r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{qc\bf v}{rc - \bm r \cdot \bf v}.

电磁势 V, A 的表达式，就是知名的点电荷 Liénard–Wiechert 势：

\boxed{V({\bf r}, t) = \frac1{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{qc}{rc - \bm r \cdot \bf v}, \quad {\bf A(r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{qc\bf v}{rc - \bm r \cdot \bf v}}.

众所周知，Lorenz 规范下电磁势与电磁场 \bf E, B 之间的关系为：

\begin{cases}{\bf E = -\nabla} V - \dfrac{\partial\bf A}{\partial t}, \\ {\bf B = \nabla\times A}.\end{cases}

经过较为复杂的计算（可参考 D. J. Griffiths Introduction to Electrodynamics, 5th ed.），可得

{\bf E(r}, t) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{r}{({\bm r\cdot\bf u})^3}[(c^2 - v^2) \bf u + \bm r \times ({\bf u \times a})], {\bf B(r}, t) = \frac1c \hat{\bm r} \times {\bf E(r}, t),

其中 {\bf u} = c\hat{\bm r} - \bf v，\bf a 表示粒子在 t_r 时刻的加速度．将其与 Lorentz 力定律（为区分，下式中 Q, V 大写，表明这是另一个带电粒子的物理量）：

{\bf F} = Q(\bf E + V \times B)

组合，即可得到 q 对 Q 的作用力：

{\bf F} = \frac{qQ}{4\pi\epsilon_0} \frac{r}{({\bm r\cdot\bf u})^3} \left\{{[(c^2 - v^2) \bf u + \bm r \times ({\bf u \times a})]} + \frac{\bf V}c\times{[\hat{\bm r}\times[(c^2 - v^2) \bf u + \bm r \times ({\bf u \times a})]]}\right\}.

某种意义上来说，上式就是经典电动力学的最终目的：得出任意两个电荷之间的相互作用力．