浅谈三维斜坐标系下常见几何量的求法

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由于作者是高中生，不保证本文符号的严格性。

坐标定义

在三维空间中，给定三个不共面的向量 \boldsymbol{i},\,\boldsymbol{j},\,\boldsymbol{k}，任意向量 \boldsymbol{p} 均可被唯一表示为

\boldsymbol{p} = x\,\boldsymbol{i} + y\,\boldsymbol{j} + z\,\boldsymbol{k}\,,

其中有序三元组 \left(x,\,y,\,z\right) 称为 \boldsymbol{p} 在基底 \left(\boldsymbol{i},\,\boldsymbol{j},\,\boldsymbol{k}\right) 下的坐标。

右手直角坐标系

在高中阶段的几何问题中，常能寻得三条两两垂直的直线（必要时需添作一条辅助线，但相关计算并不繁琐）。此时，在三条直线上各取一个单位向量 \boldsymbol{e}_1,\,\boldsymbol{e}_2,\,\boldsymbol{e}_3，它们即构成一组标准正交基。

由标准正交基定义的坐标系称为直角坐标系；若基向量不满足两两正交，则称其为斜坐标系。

直角坐标系的优越性主要体现于向量运算的简便，尤其在于点乘和叉乘。

此外，高中数学在建立坐标系时，通常要求构建右手直角坐标系，即三个单位向量的空间取向遵循右手定则。相对应地，亦可定义左手直角坐标系。值得一提的是，一般的斜坐标系同样存在左手系与右手系之分。

斜坐标系

尽管直角坐标系下的计算较为便捷，但当题目中未给出明显的直角关系时，强行建立直角坐标系往往会导致坐标中含有复杂的根式，反而不利于计算。

此时，不妨考虑直接建立斜坐标系。

斜坐标系的主要缺点在于点乘运算的展开式较为繁杂。为在一定程度上弥补这一不足并简化表达，引入 Gram 矩阵。

具体地，Gram 矩阵的第 i 行第 j 列元素定义为第 i 条基向量与第 j 条基向量的点积：

G_{ij} = \boldsymbol{v}_i \cdot \boldsymbol{v}_j.

若将向量在给定基下的坐标表示为 n\times 1 矩阵（即列向量），则两向量 \boldsymbol{x},\,\boldsymbol{y} 的点乘可写为

\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y} = \sum_{i,j} x_i y_j \,\left(\boldsymbol{v}_i\cdot\boldsymbol{v}_j\right) = \boldsymbol{x}^{\intercal}\,G\,\boldsymbol{y}.

使用矩阵乘法代替朴素的直接展开，除了形式上的简便，也确实降低了计算出错的可能。

常见几何量的计算

线段长度

设点 P,Q 的坐标为 \boldsymbol{p},\,\boldsymbol{q}（均表示为列向量，下同），则 \overrightarrow{PQ}=\boldsymbol{q}-\boldsymbol{p}，因此

\left\lvert PQ\right\rvert^2 = \left(\boldsymbol{q}-\boldsymbol{p}\right)^{\intercal}\,G\,\left(\boldsymbol{q}-\boldsymbol{p}\right) \Longrightarrow \fbox{\(\left\lvert PQ\right\rvert = \sqrt{\left(\boldsymbol{q}-\boldsymbol{p}\right)^{\intercal}\,G\,\left(\boldsymbol{q}-\boldsymbol{p}\right)}\)}\,.

两直线夹角

设两直线方向向量为 \boldsymbol{u},\,\boldsymbol{v}，则其锐角 \theta 满足

\fbox{\(\cos \theta = \dfrac{\lvert\boldsymbol{u}^{\intercal}\,G\,\boldsymbol{v}\rvert}{\sqrt{\boldsymbol{u}^{\intercal}\,G\,\boldsymbol{u}}\sqrt{\boldsymbol{v}^{\intercal}\,G\,\boldsymbol{v}}}\)}\,.

特别地，\boldsymbol{u}\perp \boldsymbol{v} \Longleftrightarrow \boldsymbol{u}^{\intercal}\,G\,\boldsymbol{v} = 0。

平面的法向量

设平面 \Pi 可以由 \boldsymbol{u},\,\boldsymbol{v} 张成，或者说 \boldsymbol{u},\,\boldsymbol{v} 是平面 \Pi 上两条不共线的向量，则向量 \boldsymbol{n} 垂直于 \Pi 当且仅当

\boldsymbol{u}^{\intercal}\,G\,\boldsymbol{n} = 0,\quad\boldsymbol{v}^{\intercal}\,G\,\boldsymbol{n} = 0.

熟知在普通的右手直角坐标系中，向量叉乘可以使用行列式辅助计算，设直角坐标系下两向量为

\begin{aligned} \boldsymbol{u} &= x_1\,\boldsymbol{i} + y_1\,\boldsymbol{j}+z_1\,\boldsymbol{k}, \\ \boldsymbol{v} &= x_2\,\boldsymbol{i} + y_2\,\boldsymbol{j}+z_2\,\boldsymbol{k}, \end{aligned}

则方程

\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n} = 0,\quad\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n} = 0

的解可以直接使用行列式表示为

\fbox{\(\boldsymbol{n} = \det \begin{pmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end{pmatrix}\)}\,.

在斜坐标系下运算时，不妨使用 \boldsymbol{u}^{\intercal}\,G 和 \boldsymbol{v}^{\intercal}\,G 替换行列式中的第二行和第三行，即可得到斜坐标表示下的向量叉乘结果。

直线与平面的夹角

设直线方向向量为 \boldsymbol{d}，平面法向量为 \boldsymbol{n}，\alpha 为直线与平面的夹角，则

\fbox{\(\sin \alpha = \dfrac{\left\lvert\boldsymbol{d}^{\intercal}\,G\,\boldsymbol{n}\right\rvert}{\sqrt{\boldsymbol{d}^{\intercal}\,G\,\boldsymbol{d}}\sqrt{\boldsymbol{n}^{\intercal}\,G\,\boldsymbol{n}}}\)}\,.

两平面夹角

设两平面的法向量分别为 \boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2，则两平面的锐夹角 \theta 为

\fbox{\(\cos \theta = \dfrac{\lvert\boldsymbol{n}_1^{\intercal}\,G\,\boldsymbol{n}_2\rvert}{\sqrt{\boldsymbol{n}_1^{\intercal}\,G\,\boldsymbol{n}_1}\sqrt{\boldsymbol{n_2}^{\intercal}\,G\,\boldsymbol{n_2}}}\)}\,.

点到直线的距离

设直线 L 经过点 P，方向向量为 \boldsymbol{d}，即 L:\boldsymbol{p}+t\,\boldsymbol{d}，其中 t 是参数；点 Q 的坐标为 \boldsymbol{q}。令 \boldsymbol{r}=\boldsymbol{q}-\boldsymbol{p}，则通过 \boldsymbol{r} 在 \boldsymbol{d} 上的投影，有

d\left(Q,L\right)^2 = \left\lvert\boldsymbol{w}\right\rvert^2 - \left(\dfrac{\boldsymbol{w}\cdot\boldsymbol{d}}{\left\lvert\boldsymbol{d}\right\rvert}\right)^2,

即

\fbox{\(d\left(Q,L\right) = \sqrt{\boldsymbol{w}^{\intercal}\,G\,\boldsymbol{w} - \dfrac{\left(\boldsymbol{w}^{\intercal}\,G\,\boldsymbol{d}\right)^2}{\boldsymbol{d}^{\intercal}\,G\,\boldsymbol{d}}}\)}\,.

点到平面的距离

设平面 \Pi 过点 P，法向量为 \boldsymbol{n}，令 \boldsymbol{w}=\overrightarrow{PQ}，则

\fbox{\(d(Q,\Pi) = \dfrac{\left\lvert\boldsymbol{w}^{\intercal}\,G\,\boldsymbol{n}\right\rvert}{\sqrt{\boldsymbol{n}^{\intercal}\,G\,\boldsymbol{n}}}\)}

两异面直线的距离

设 L_1:\boldsymbol{p}+s\,\boldsymbol{u},\,L_2:\boldsymbol{q}+t\,\boldsymbol{v}，令 \boldsymbol{n} 为 \boldsymbol{p} 和 \boldsymbol{q} 张成平面的法向量，则

\fbox{\(d(L_1,L_2)=\dfrac{\left(\boldsymbol{q}-\boldsymbol{p}\right)^{\intercal}\,G\,\boldsymbol{n}}{\sqrt{\boldsymbol{n}^{\intercal}\,G\,\boldsymbol{n}}}\)}\,.

面积

对于两个向量 \boldsymbol{u},\,\boldsymbol{v}，它们张成的平行四边形面积平方为

S^2 = \left\lvert\boldsymbol{u}\right\rvert^2\left\lvert\boldsymbol{v}\right\rvert^2 - \left(\boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{v}\right)^2.

写成行列式的形式就是

\fbox{\(S = \sqrt{\det\begin{pmatrix}\boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{u} & \boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{v} \\ \boldsymbol{v}\cdot \boldsymbol{u} & \boldsymbol{v}\cdot \boldsymbol{v}\end{pmatrix}}\)}\,.

可以发现行列式中矩阵实际上就是 \boldsymbol{u} 和 \boldsymbol{v} 的 Gram 矩阵。

体积

不加证明地指出，对于三个向量 \boldsymbol{u},\,\boldsymbol{v},\,\boldsymbol{w}，令 M=(\boldsymbol{u}\quad \boldsymbol{v}\quad \boldsymbol{w}) 为以它们的坐标列为列构成的 3\times 3 矩阵，则

\fbox{\(V=\left\lvert\det M\right\rvert\sqrt{\det G}\)}\,.