斜抛运动曲率半径

Jerry1031 · 2022-09-04 14:13:03 · 个人记录

斜抛运动顶点处曲率半径

最近考试的一道题，放上来，怕忘了。

1. 暴力推导

以抛出点为坐标原点，抛出水平方向为 x 轴，垂直方向为 y 轴，初速度为 v_0，与地面夹角为 \theta。

v_x=v_0\cos\theta

v_y=v_0\sin\theta

x=v_x\times t=v_0t\cos\theta

y=v_y\times t-h=v_0t\sin\theta-\frac{gt^2}{2}

t=\frac{x}{v_0\cos\theta}

轨迹方程：

y=-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta}x^2+x\tan\theta

解方程 y=0，有射程

S=\frac{v_0^2\sin2\theta}{g}

最高点距离

l=\frac{S}{2}=\frac{v_0^2\sin2\theta}{2g}

将 x=l 代入 y，有射高

H=\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}

平面曲线的曲率 K 就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。曲率的倒数就是曲率半径，即 R=\frac{1}{K}，等于最接近该点处曲线的圆弧的半径。

曲率半径

R=\left|\dfrac{\left(1+y'^2\right)^{\frac{3}{2}}}{y''}\right|

y'=-\frac{g}{v_0^2\cos^2\theta}x+\tan\theta

y''=-\frac{g}{v_0^2\cos^2\theta}

解方程 y'=0，同样有顶点横坐标

x=\frac{v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g}=\frac{v_0^2\sin2\theta}{2g}=l

顶点曲率半径

R=\left|\dfrac{(1+0^2)^\frac{3}{2}}{y''}\right|=\frac{v_0^2\cos^2\theta}{g}=-\frac{1}{y''}

事实上，所有二次函数 y=ax^2+bx+c (a\ne0) 的顶点处曲率半径

R=\left|\frac{1}{y''}\right|=\left|\frac{1}{2a}\right|

读者自证。

近似成匀速圆周运动处理。

顶点处线速度

v=v_x=v_0\cos\theta

向心加速度

a=g

众所周知

a=\frac{v^2}{r}

有

r=\frac{v^2}{a}=\frac{v_0^2\cos^2\theta}{g}

所以

R=r=\frac{v_0^2\cos^2\theta}{g}

警钟敲烂。

分数 - 5。

逆向思维。