高等数学基础
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前言
作者实在是太弱了，如有错误，请在讨论区评论。
如果表达不清晰也可以在讨论区评论。
本文过程中有使用 AI 辅助，经过本人的阅读保证无误，且本人贡献大于 AI 贡献。
引入
高等数学是一门重要的科目，其中主要内容包括导数，微积分等等。
阅读这篇文章，您需要掌握函数的基本概念，初步掌握有关函数奇偶性，单调性，周期性，有界性等内容。
第一章：函数、极限与连续
本章不介绍过于简单的内容，如果您认为有有补充必要的内容请在讨论区回复。
奇偶性
若一个函数
也就是说奇函数关于原点对称，而偶函数关于
奇函数有以下性质：
- 若函数
f 在x=0 处有定义，则f(0)=0 。 - 若函数
f 在区间[-x,x] 上有最大值M 与最小值m ，则有M+m=0 。 - 奇函数在关于原点对称的区间上拥有相同的单调性。
- 奇函数加或减奇函数为奇函数。
- 奇函数乘或除奇函数为偶函数。
- 奇函数的反函数为奇函数。
- 奇函数取绝对值为偶函数。
- 奇函数与奇函数的复合为奇函数。
- 奇函数与偶函数的复合为偶函数。
偶函数有以下性质：
-
- 偶函数在关于原点的区间上有相反的单调性。
- 偶函数（除了仅定义在
x=0 上的）没有反函数。 - 偶函数加或减偶函数为偶函数。
- 偶函数乘或除偶函数为偶函数。
- 偶函数与奇函数或偶函数的复合均为偶函数。
关于奇偶函数还有更多性质。
注意到一个函数可以同时不是奇函数和偶函数，但同时是奇函数和偶函数的必须满足定义域对称且定义域内值始终为
单调性
令
对于
则对于
对于
则对于
特别的，若函数
单调性相同的函数复合后单调递增，单调性相反的函数复合后单调递减。
周期性
周期函数的基本定义
对于函数
最小正周期
在周期函数
周期函数的基本性质
周期的整数倍：若
常见周期推导结论
若
-
\lim[f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B -
- 复合函数极限运算法则：若
\lim \varphi(x)=u_0 ，\lim f(u)=A ，且在x_0 的去心邻域内\varphi(x) \neq u_0 ，则\lim f[\varphi(x)]=A 。
除了基本性质外，判断极限是否存在还有以下重要准则：
- 夹逼准则（迫敛性）：若
g(x) \leq f(x) \leq h(x) ，且\lim g(x)=\lim h(x)=A ，则\lim f(x)=A 。 - 单调有界准则：单调递增且有上界，或单调递减且有下界的数列必有极限。
- 归结原则（海涅定理）：
\lim_{x \to x_0} f(x)=A 的充要条件是，对任意以x_0 为极限且x_n \neq x_0 的数列\{x_n\} ，均有\lim_{n \to \infty} f(x_n)=A 。
此外，函数极限存在性与有界性相关：若
无穷大与无穷小
无穷小量（简称无穷小）是指在自变量的某个变化过程中，以
在微积分和极限理论中，无穷小与无穷大并非具体的数值，而是描述变量变化趋势的概念。为了精确刻画它们趋于 0 或趋于
无穷小的比较（趋于 0 的速度）
设
1. 高阶无穷小
- 定义：若
\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0 - 含义：
\beta 趋于 0 的速度远快于\alpha 。 - 记号：
\beta = o(\alpha) （读作“小 o”） - 示例：当
x \to 0 时，x^2 是x 的高阶无穷小，因为\lim_{x\to 0} \frac{x^2}{x} = 0 。
2. 低阶无穷小
- 定义：若
\lim \frac{\beta}{\alpha} = \infty - 含义：
\beta 趋于 0 的速度慢于\alpha 。 - 示例：当
x \to 0^+ 时，\sqrt{x} 是x 的低阶无穷小。
3. 同阶无穷小
- 定义：若
\lim \frac{\beta}{\alpha} = C \neq 0 （C 为非零常数） - 含义：两者趋于 0 的速度差不多，处于同一个“数量级”。
- 示例：当
x \to 0 时，3x 和x 是同阶无穷小，因为\lim_{x\to 0} \frac{3x}{x} = 3 。
4. 等价无穷小
- 定义：若
\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1 - 含义：同阶无穷小的特例（
C=1 ）。两者在极限过程中几乎可以“互换”。 - 记号：
\beta \sim \alpha - 示例：当
x \to 0 时，\sin x \sim x ，因为\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 。
5. k 阶无穷小
- 定义：若
\lim \frac{\beta}{\alpha^k} = C \neq 0 （k > 0 ） - 含义：
\beta 是关于\alpha 的k 阶无穷小。 - 示例：当
x \to 0 时，1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2 ，因此1 - \cos x 是x 的 2 阶无穷小。
无穷大的比较（趋于 \infty 的速度）
设
1. 高阶无穷大
- 定义：若
\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \infty - 含义：
f(x) 增长的速度远快于g(x) 。 - 示例：当
x \to +\infty 时，x^2 是比x 更高阶的无穷大。
2. 低阶无穷大
- 定义：若
\lim \frac{f(x)}{g(x)} = 0 - 含义：
f(x) 增长的速度慢于g(x) 。 - 示例：当
x \to +\infty 时，x 是x^2 的低阶无穷大。
3. 同阶无穷大
- 定义：若
\lim \frac{f(x)}{g(x)} = C \neq 0 - 含义：两者增长的速度处于同一数量级。
- 示例：
10x 与x 是同阶无穷大。
4. 等价无穷大
- 定义：若
\lim \frac{f(x)}{g(x)} = 1 - 含义：同阶无穷大的特例，增长速度完全相同。
- 示例：当
x \to +\infty 时，x^2 + x 与x^2 是等价无穷大。等价无穷小替换定理
若
\alpha\sim\alpha',\beta\sim\beta' 且极限\lim \frac{\beta'}{\alpha'} 存在则\lim\frac{\beta}{\alpha}=\lim\frac{\beta'}{\alpha'} 。连续性与间断点
一、函数的连续性
1. 直观理解 函数的连续性可以理解为：当输入（自变量）发生微小变化时，输出（函数值）也只发生微小的变化，函数图像是一条连绵不断、没有断开或跳跃的曲线。
2. 严格的数学定义
设函数
- 有定义：函数在该点有定义，即
f(x_0) 存在。 - 有极限：函数在该点的极限存在，即
\lim_{x \to x_0} f(x) 存在。 - 极限等于函数值：极限值等于该点的函数值，即
\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) 。
此外，函数在一点连续的充要条件是它在该点既左连续又右连续。
3. 初等函数的连续性 所有的初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等及其有限次四则运算和复合）在其定义域内都是连续的。
二、函数的间断点
如果函数
间断点通常分为两大类：第一类间断点和第二类间断点。
第一类间断点
特征：函数在该点的左、右极限都存在。
- 可去间断点：左、右极限存在且相等（即极限存在），但函数在该点无定义，或者有定义但函数值不等于该极限值。
- 例子：函数
f(x) = \frac{\sin x}{x} 在x=0 处无定义，但\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 。只要补充定义f(0)=1 ，函数在该点就连续了。
- 例子：函数
- 跳跃间断点：左、右极限都存在，但不相等。
- 例子：符号函数
sgn(x) 在x=0 处，左极限为-1 ，右极限为1 ，两者不相等，形成“跳跃”。
- 例子：符号函数
第二类间断点
特征：函数在该点的左、右极限至少有一个不存在。常见的子类包括：
- 无穷间断点：函数在该点附近趋向于无穷大（左极限或右极限为
\infty ）。- 例子：函数
f(x) = \frac{1}{x} 在x=0 处，当x \to 0 时函数值趋于无穷大。
- 例子：函数
- 振荡间断点：当自变量趋于该点时，函数值在两个常数之间无限振荡，不趋向于任何确定的值，极限不存在。
- 例子：函数
f(x) = \sin(\frac{1}{x}) 在x=0 处，函数值在-1 和1 之间无限次来回震荡。
- 例子：函数
补充：除了无穷和振荡，还有“单侧极限为无穷，另一侧为非无穷” 或者 “极限趋向于无确定值但非振荡” 等情况。
两个重要极限
一
用几何方法证明，直接放图吧。
二
注：在本文中我们使用这个式子作为
该极限的证明通常分为两步：首先证明数列极限存在（从而定义自然常数
1. 证明数列极限存在
设数列
-
单调性证明：利用二项式定理展开
x_n ：x_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\left(\frac{1}{n}\right)^k = \sum_{k=0}^n \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k! \cdot n^k} 将分子中的
n 约分，可得：x_n = 1 + 1 + \frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right) + \frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) + \cdots + \frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right) 同理写出
x_{n+1} 的展开式，可以发现x_{n+1} 的每一项都不小于x_n 的对应项，且x_{n+1} 多出一项正数。因此，数列x_n 是严格单调递增的。 -
有界性证明：对上述展开式进行放缩（利用
k! \ge 2^{k-1} ）：x_n < 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}} 利用等比数列求和公式，可得：
x_n < 1 + \frac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} < 3 因此，数列
x_n 是有上界的。 -
得出结论：根据单调有界定理，单调递增且有上界的数列必有极限。我们将这个极限定义为自然常数
e ，即：\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e
2. 推广到 x \to +\infty （连续变量）
对于任意实数
当
- 左边：
\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n = \lim_{n\to \infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{1+\frac{1}{n+1}} = \frac{e}{1} = e - 右边：
\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} = \lim_{n\to \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)\right] = e \cdot 1 = e
根据夹逼定理，得证：
3. 推广到 x \to -\infty
令
进一步变形：
前半部分极限为
综上所述，得证：
第二章：一元函数的导数与微分
我们来研究一个一元函数（也就是常规的函数）。
我们在
具体的来说，我们就是求出满足
这里假定
然后我们研究个简单情况：速度。
速度永远是连续变化的，所以是一个适合研究的简单情况。
我们先令一段时间行驶的路程为
那么在
那么如何求出在在
于是我们令
然后我们定义导数：
对于一个函数
容易发现
同理。
证明：
有兴趣的读者可以自己尝试使用第一条和第三条证明它。
有兴趣的读者也可以自己尝试证明。
此外，反函数的导数也有对应法则。
我们还有对数求导法。
适用场景： 函数含有多个乘积、商、幂函数，尤其是幂指函数这类直接求导很困难的表达式。
基本步骤：
取对数： 两边取自然对数
还原： 解出
常见导数
常见导数公式综合表
| 函数类别 | 原函数 |
导数 |
|---|---|---|
| 常数 | ||
| 幂函数 | ||
| 指数函数 | ||
| 自然指数 | ||
| 对数函数 | ||
| 自然对数 | ||
| 正弦 | ||
| 余弦 | ||
| 正切 | ||
| 余切 | ||
| 正割 | ||
| 余割 | ||
| 反正弦 | ||
| 反余弦 | ||
| 反正切 | ||
| 反余切 | ||
| 双曲正弦 | ||
| 双曲余弦 | ||
| 双曲正切 | ||
| 反双曲正弦 |
附：核心求导法则速记
- 和差：
(u \pm v)' = u' \pm v' 。 - 数乘：
(Cu)' = Cu' 。 - 乘积：
(uv)' = u'v + uv' 。 - 商：
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} 。 - 复合（链式）：
[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) 。
微分中值定理
费马引理（Fermat's Lemma）
若函数
几何意义：可导极值点处的切线平行于
罗尔定理（Rolle's Theorem）
若函数
- 在闭区间
[a, b] 上连续 - 在开区间
(a, b) 内可导 - 端点函数值相等，即
f(a) = f(b)
则在
几何意义：连续曲线弧两端点纵坐标相等时，弧上至少有一点的切线是水平的。
示例：设
拉格朗日中值定理（Lagrange MVT）
若函数
- 在闭区间
[a, b] 上连续 - 在开区间
(a, b) 内可导
则在
等价形式：
几何意义：曲线上必然存在至少一点，过该点的切线斜率与连接曲线端点的割线斜率相同。
示例：设
拉格朗日中值定理也称为有限增量定理，它给出了自变量取得有限增量时，函数增量的准确表达式。
柯西中值定理（Cauchy MVT）
若函数
- 在闭区间
[a, b] 上连续 - 在开区间
(a, b) 内可导 - 对任一
x \in (a, b) ，F'(x) \neq 0
则在
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广形式（当
洛必达法则求未定式极限
核心思想：将
- 适用条件：
- 必须是
\frac{0}{0} 或\frac{\infty}{\infty} 型。 - 分子分母在去心邻域内可导，且分母导数不为 0。
- 求导后的极限存在（或为
\infty ）。
- 必须是
- 常见陷阱与技巧：
- 其他未定式：
0 \cdot \infty ,\infty - \infty ,0^0 ,1^\infty ,\infty^0 需先变形为\frac{0}{0} 或\frac{\infty}{\infty} 。 -
- 失效情况：若
\lim \frac{f'(x)}{g'(x)} 不存在且不是\infty （例如震荡），不能反推原极限不存在，此时需换方法（如泰勒公式、夹逼准则）。 - 循环求导：若求导后形式不变，立即停止，改用泰勒展开。
- 其他未定式：
函数单调性、极值与最值
核心工具：一阶导数
- 单调性：
-
- 极值（局部性质）：
- 第一充分条件：
f'(x_0)=0 ，且f'(x) 在x_0 两侧变号（左正右负为极大，左负右正为极小）。 - 第二充分条件：
f'(x_0)=0 且f''(x_0) \neq 0 。 -
- 第一充分条件：
- 最值（全局性质，闭区间
[a,b] ）：- 步骤：找驻点 (
f'=0 ) + 不可导点 + 端点a, b \rightarrow 比较函数值\rightarrow 最大者为最大值，最小者为最小值。
- 步骤：找驻点 (
凹凸性与拐点
核心工具：二阶导数
- 凹凸性：
-
-
- 注：国内教材通常称
\cup 为凹，\cap 为凸。
-
- 拐点：
- 定义：曲线上凹凸性发生改变的点
(x_0, f(x_0)) 。 - 求法：
- 求
f''(x) = 0 的点或f''(x) 不存在的点。 - 必须检验：该点左右两侧
f''(x) 是否异号。 - 若异号，则
(x_0, f(x_0)) 是拐点；若同号，则不是。
- 求
- 定义：曲线上凹凸性发生改变的点
曲率与曲率半径
核心概念：描述曲线弯曲程度的量。
- 曲率公式
K ：K = \frac{|y''|}{[1+(y')^2]^{3/2}} - 曲率半径
\rho ：\rho = \frac{1}{K} = \frac{[1+(y')^2]^{3/2}}{|y''|} - 考点提示：
- 直线
K=0, \rho=\infty 。 - 圆
K = \frac{1}{R}, \rho = R 。 - 参数方程
x=x(t), y=y(t) 的曲率公式需记住：K = \frac{|x'y'' - y'x''|}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}}
- 直线
渐近线
核心思想：考察函数在无穷远处或间断点处的趋势。
- 水平渐近线：
-
\lim_{x \to +\infty} f(x) = A$ 或 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = A - 则
y = A 为水平渐近线。
-
- 垂直渐近线：
- 找无定义点（分母为0、
\ln 真数为0等）x_0 。 - 若
\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty ，则x = x_0 为垂直渐近线。
- 找无定义点（分母为0、
- 斜渐近线：
- 前提：
\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty 。 - 求斜率：
k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} （若k 不存在或为0，则无斜渐近线，转看水平）。 - 求截距：
b = \lim_{x \to \infty} [f(x) - kx] 。 - 则
y = kx + b 为斜渐近线。
- 前提：