广义相对论基础导引 第一部分

Sunnysky0 · 2025-12-12 11:53:57 · 科技·工程

第一章：微分几何基础

1.1 可微流形 (Differentiable Manifolds)

这一节是整个广义相对论的“数据结构定义”。我们将展示如何从一堆局部看起来像欧几里得空间（\mathbb{R}^n）的碎片，通过严格的接口协议拼装成一个全局的弯曲空间。

定义 1.1.1：拓扑流形 (Topological Manifold)

一个 n 维拓扑流形 \mathcal{M} 是一个拓扑空间，满足以下三条公理：

1. Hausdorff 性 (分离公理)：对于任意不同两点 p, q \in \mathcal{M}，存在不相交的开集 O_p, O_q 分别包含 p 和 q。
   • CS 类比：保证了点的“可区分性”。如果没有这条，可能会出现两个无法通过逼近算法区分的“重叠点”。
2. 第二可数性 (Second Countable)：存在可数的拓扑基。
   • CS 类比：保证了流形不会过大/过于离散，确保了分割（Partition of Unity）的存在，这是定义积分和度量的基础。
3. 局部欧氏性 (Locally Euclidean)：对于 \forall p \in \mathcal{M}，存在一个邻域 U \ni p 和一个同胚映射（连续且逆连续的双射） \phi: U \to \hat{U} \subseteq \mathbb{R}^n，其中 \hat{U} 是 \mathbb{R}^n 中的开集。

定义 1.1.2：坐标卡 (Coordinate Chart)

对元组 (U, \phi) 称为流形上的一个坐标卡 (Chart)。

• 坐标映射：\phi(p) = (x^1, x^2, ..., x^n) \in \mathbb{R}^n。这被称为点 p 在该坐标卡下的局部坐标。
• 参数化映射：逆映射 \phi^{-1}: \hat{U} \to U 将 \mathbb{R}^n 中的数据“还原”回流形上的点。

定义 1.1.3：光滑图集与微分结构 (Smooth Atlas & Differential Structure)

这是“可微”二字的关键。单个坐标卡只能覆盖局部，要描述整个流形，我们需要覆盖全集的图集 (Atlas) \mathcal{A} = \{(U_\alpha, \phi_\alpha)\}_{\alpha \in I}。

若两个坐标卡 (U_\alpha, \phi_\alpha) 和 (U_\beta, \phi_\beta) 有重叠（U_\alpha \cap U_\beta \neq \emptyset），则定义坐标转换函数 (Transition Map) \psi_{\beta\alpha}：

这是一个从 \mathbb{R}^n 的子集到 \mathbb{R}^n 的子集的普通函数。

• 若 \mathcal{A} 中所有的转换函数 \psi_{\beta\alpha} 都是 C^\infty (无穷阶可微) 的，则称 \mathcal{A} 为光滑图集。
• 装备了最大光滑图集的拓扑流形称为光滑流形 (Smooth Manifold)。

1.1.4 构建圆 (S^1) 的微分结构

问题描述： 证明单位圆 S^1 = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 \} 是一个 1 维可微流形。 注意：圆是一个嵌入在 2 维空间的 1 维对象，但我们不能直接用极坐标角度 \theta \in [0, 2\pi) 作为一个全局坐标卡，因为在 0 和 2\pi 的连接处不连续。我们需要至少两个坐标卡。

解题步骤：我们使用立体投影 (Stereographic Projection) 来构建图集。

步骤 1：构造坐标卡 1 (北极投影)

取去心北极点 N=(0, 1) 的圆 U_N = S^1 \setminus \{N\}。 定义映射 \phi_N: U_N \to \mathbb{R}，将圆上一点 (x, y) 连线 N，投射到 X 轴 (y=0) 上。 通过简单的几何相似关系推导投影公式：

其逆映射（参数化）\phi_N^{-1}: \mathbb{R} \to U_N 为（解方程组）：

显然，\phi_N 和 \phi_N^{-1} 在其定义域内连续。

步骤 2：构造坐标卡 2 (南极投影)

取去心南极点 S=(0, -1) 的圆 U_S = S^1 \setminus \{S\}。 定义映射 \phi_S: U_S \to \mathbb{R}，将圆上一点 (x, y) 连线 S，投射到 X 轴上。 公式为：

其逆映射 \phi_S^{-1}: \mathbb{R} \to U_S 为：

步骤 3：分析重叠区域与转换函数

图集 \mathcal{A} = \{(U_N, \phi_N), (U_S, \phi_S)\} 覆盖了 S^1（因为没有任何点既是北极又是南极）。 重叠区域 U_{N \cap S} = S^1 \setminus \{N, S\}。

我们需要计算从 u 坐标系变换到 v 坐标系的转换函数 \psi_{SN} = \phi_S \circ \phi_N^{-1}。 思路：

1. 输入 u。
2. 通过 \phi_N^{-1} 还原为流形上的点 (x, y)。
3. 将 (x, y) 喂给 \phi_S 得到 v。

计算：

代入 x, y 的 u 表达式：

所以，转换函数为：

定义域为 \phi_N(U_{N \cap S}) = \mathbb{R} \setminus \{0\}。

步骤 4：验证微分结构 (Compatibility Check)

函数 f(u) = 1/u 在 \mathbb{R} \setminus \{0\} 上是 C^\infty (光滑) 的。（其导数为 -1/u^2, 2/u^3, ... 均存在且连续）。 同理，反向转换 \psi_{NS}(v) = 1/v 也是 C^\infty 的。

结论： 由于所有的转换函数都是光滑的，(U_N, \phi_N) 和 (U_S, \phi_S) 是兼容的。这个图集赋予了 S^1 标准的微分结构。这意味着我们可以在 S^1 上进行微积分运算，而不必担心“接缝”处的奇异性。

值得一提 在数值计算或几何处理中，如果试图用单一的 double theta (0 \le \theta < 2\pi) 变量来模拟圆环上的物理场，会遇到著名的 "Hairy Ball Theorem" (毛球定理) 或类似的拓扑障碍带来的数值不稳定：

1. 奇点：在 \theta = 0 处进行插值或求导时，需要特殊的 if 逻辑处理周期性边界条件。
2. 流形视角：使用图集（Atlas）的方法则是真正通用的。您存储两个 patch 的数据（u 和 v），当物体运动到北极附近时（u \to \infty），程序逻辑自动检测并使用 Transition Map 切换到南极坐标系（v \approx 0），从而避免数值溢出（Overflow）和精度丢失。
   • 这就是流形在“计算”中的本质：没有全局最优坐标系，只有通过协议（转换函数）互联的局部坐标系。

1.2 切空间与切矢量 (Tangent Space & Vectors)

在欧几里得空间 \mathbb{R}^n 中，我们习惯将向量视为连接两点（如原点到某点）的直观箭头。然而在弯曲流形（Manifold）上，两点之间的连线通常不在流形内部（例如球面上的两点连线会穿过球体内部）。

因此，我们需要从局部性质出发，建立一种不依赖于嵌入高维空间的内在定义。我们将切矢量严格定义为作用在光滑函数上的导数算子（Derivation）。

1.2.1 作为导数算子的切矢量

设 \mathcal{M} 为 n 维光滑流形，p \in \mathcal{M} 为流形上的一点。令 C^\infty(p) 为在点 p 的邻域内定义的所有实值光滑函数 f: \mathcal{M} \to \mathbb{R} 的集合。

定义 1.2.1 (切矢量)： 点 p 处的切矢量 v 是一个线性映射 v: C^\infty(p) \to \mathbb{R}，它满足以下两条公理：

1. 线性性 (Linearity)： v(af + bg) = a v(f) + b v(g), \quad \forall f, g \in C^\infty(p), \forall a, b \in \mathbb{R}
2. 莱布尼茨律 (Leibniz Rule / Product Rule)： v(fg) = f(p)v(g) + g(p)v(f)

直观理解：切矢量本质上是“方向导数”。v(f) 的值表示函数 f 沿着 v 方向在 p 点的变化率。

1.2.2 切空间的基底与分量

虽然定义是抽象的，但我们需要具体计算。这需要引入坐标系。 设 x = (x^0, x^1, \dots, x^{n-1}) 为点 p 周围的一个局部坐标系。

定义 1.2.2 (坐标基底)： 对于坐标系中的每一个坐标 x^\mu，定义算子 \frac{\partial}{\partial x^\mu} 作用于函数 f 如下：

这正是标准的偏导数。很容易验证它满足上述的线性性和莱布尼茨律。

定理 1.2.1 (切空间基定理)： 集合 \left\{ \left(\frac{\partial}{\partial x^0}\right)_p, \dots, \left(\frac{\partial}{\partial x^{n-1}}\right)_p \right\} 构成了切空间 T_p\mathcal{M} 的一组基，称为坐标基 (Coordinate Basis)。

因此，任意切矢量 v \in T_p\mathcal{M} 都可以唯一地写成这组基的线性组合：

其中系数 v^\mu 称为矢量 v 在该坐标系下的分量。

值得一提：

• 当我们说“求矢量 v 作用于函数 f”时，运算过程是：v(f) = (v^\mu \partial_\mu) f = v^\mu \frac{\partial f}{\partial x^\mu}。

1.2.3 与路径切线的联系

为了联系物理直觉，通常通过流形上的曲线来构造切矢量。

设 \gamma: (-\epsilon, \epsilon) \to \mathcal{M} 是一条光滑曲线，且 \gamma(0) = p。这条曲线在点 p 定义了一个切矢量 v_\gamma，其作用法则为：

根据链式法则，如果曲线在坐标系 x^\mu 下的方程为 x^\mu(t)，则：

对比 v = v^\mu \partial_\mu，我们得到矢量的分量即为坐标对参数的导数：

1.2.4 切空间与切矢量例题

例题 1：算子操作与求值

场景：考虑 2 维平面 \mathbb{R}^2（流形），坐标为笛卡尔坐标 (x, y)。 定义一个函数 f(x, y) = x^2 y + \sin(x)。 定义点 p = (0, 2) 处的一个切矢量 v = 3 \partial_x - \partial_y。

问题：计算 v(f) 的值。

解答： 切矢量是微分算子，我们直接将算子作用于函数：

代入点 p 的坐标 x=0, y=2：

物理含义：若你站在 (0,2) 处，沿着向量 (3, -1) 的方向移动，感受到标量场 f 的瞬时变化率为 3。

例题 2：坐标变换法则 (基变换)

这是广义相对论中最核心的运算之一。

场景：考虑 \mathbb{R}^2，从笛卡尔坐标 (x, y) 变换到极坐标 (r, \theta)。 变换公式为：x = r \cos\theta, \quad y = r \sin\theta。

问题：

1. 将极坐标基矢量 \partial_r 和 \partial_\theta 用笛卡尔基矢量 \partial_x, \partial_y 表示。
2. 验证变换矩阵（Jacobian）的作用。

解答： 1. 使用链式法则推导基底变换： 我们将 \partial_r 视为作用于任意函数 f 的算子。根据多元微积分链式法则：

剥离测试函数 f，得到算子关系：

计算偏导系数：

• \frac{\partial x}{\partial r} = \cos\theta
• \frac{\partial y}{\partial r} = \sin\theta

同理对于 \partial_\theta：

• \frac{\partial x}{\partial \theta} = -r\sin\theta
• \frac{\partial y}{\partial \theta} = r\cos\theta

所以基变换关系为：

2. 分量变换的逆变性验证： 设某矢量 v 在极坐标下的分量为 (v^r, v^\theta) = (1, 0)（即径向单位矢量）。 该矢量在笛卡尔坐标系下的分量 (v^x, v^y) 是什么？

根据矢量本身是不变量：v = v^r \partial_r + v^\theta \partial_\theta = v^x \partial_x + v^y \partial_y。 将刚才推导的 \partial_r 表达式代入左边：

对比系数可得：

这通过矢量变换法则公式验证如下（其中 x^{\mu'} = \{x, y\}, x^\mu = \{r, \theta\}）：

结论：这展示了基矢量（\partial_\mu）与分量（v^\mu）变换行为相反（一为协变，一为逆变），从而保证总矢量 v 是一个几何不变量。

1.3 爱因斯坦求和约定 (Einstein Summation Convention)

在广义相对论中，公式往往涉及大量的多重求和。为了简化符号，爱因斯坦引入了一套省略求和号 \sum 的记法。这不仅仅是速记法，它更是张量代数的语法检查器，能直观反映方程的协变性（Covariance）。

1.3.1 核心定义与规则

定义 1.8 (指标分类)： 在一个单项式（Term）中，任何一个指标（Index，如 \mu, \nu, \alpha）只可能属于以下两类之一：

1. 哑指标 (Dummy Index)：
   • 特征：在单项式中出现两次，且必须是一上一下。
   • 语义：表示对该指标进行遍历求和。
   • 性质：可以用任意其他未占用的字母替换（如 \mu \to \sigma），不改变表达式的值（相当于局部变量重命名）。
2. 自由指标 (Free Index)：
   • 特征：在单项式中仅出现一次（通常）。
   • 语义：代表方程对该维度的每一个分量都成立。
   • 性质：在方程的所有项（左边和右边）中，自由指标必须名称相同、位置（上下）相同。

约定规则： 设维度为 n（GR 中 n=4，指标取 \{0, 1, 2, 3\}）。若指标 \mu 在单项式中出现一次上标、一次下标，则：

算法视角

• 自由指标 \leftrightarrow 外层循环 / 数组索引
• 哑指标 \leftrightarrow 内层循环 / 局部迭代变量

表达式 y^\mu = M^\mu_\nu x^\nu 等价于以下代码逻辑：

# n = 4 (Space-time dimensions)
y = [0.0] * 4  # Initialize output array

# Free index mu appears once on LHS, once on RHS -> Outer Loop
for mu in range(4):
    sum_val = 0.0
    # Dummy index nu appears twice (up/down) on RHS -> Inner Summation
    for nu in range(4):
        sum_val += M[mu][nu] * x[nu]
    y[mu] = sum_val

1.3.2 基础例题：线性代数操作

通过常见的矩阵运算来熟悉张量标记法。

例题 1：内积与矩阵乘法 假设 u, v 是矢量，A, B 是矩阵（二阶张量）。请用爱因斯坦约定表示以下运算：

1. 向量内积 s = u \cdot v（注：需通过度规定义，暂假设欧氏空间或对偶配对）。
2. 矩阵-向量乘法 w = Av。
3. 矩阵-矩阵乘法 C = AB。
4. 矩阵的迹 (Trace) t = \text{tr}(A)。

解答：

1. 内积：即行向量乘列向量。 s = u_\mu v^\mu

   这里 \mu 是哑指标，结果 s 没有自由指标，是一个标量（0阶张量）。

2. 矩阵-向量乘法： w^\mu = A^\mu_\nu v^\nu
3. 矩阵乘法： C^\mu_\rho = A^\mu_\nu B^\nu_\rho
4. 迹：对角元之和。即令上标等于下标。 t = A^\mu_\mu

1.3.3 进阶例题：多重求和与指标代换

在推导场方程时，经常遇到多个张量相乘，此时必须小心管理指标名称（Scope Management）。

例题 2：二次型与嵌套定义 已知 y^\alpha = A^\alpha_\beta x^\beta 且 z = \omega_\alpha y^\alpha。 请将 z 直接表示为关于 x 的表达式。

解答： 直接代入：

分析指标：

• 此式包含双重求和：z = \sum_\alpha \sum_\beta \omega_\alpha A^\alpha_\beta x^\beta。

陷阱提示（Variable Shadowing）： 如果你有两个方程 a^\mu = B^\mu_\nu b^\nu 和 c^\mu = D^\mu_\nu d^\nu，想要相乘。 错误写法：a^\mu c^\mu = B^\mu_\nu b^\nu D^\mu_\nu d^\nu

• 错误 1：\mu 在左边出现两次（同为上标），非法。
• 错误 2：\nu 在右边出现四次，语义不清。

正确写法（重命名哑指标）：

a^\mu c^\rho = (B^\mu_\nu b^\nu) (D^\rho_\sigma d^\sigma) = B^\mu_\nu D^\rho_\sigma b^\nu d^\sigma

• 在合并两个表达式时，必须确保各自的哑指标不冲突（就像在编程中不能在嵌套循环中使用相同的迭代变量名 i）。

1.3.4 合法性判断

这是学习 GR 初期的重要训练：判断一个表达式是否符合张量语法。

例题 3：以下表达式在爱因斯坦约定下是否合法？如果不合法，指出原因。 (设 T 为 (2,0) 张量，S 为 (1,1) 张量，v 为矢量)

1. T^{\mu\nu} v_\nu = S^\mu_\nu v^\nu
2. a = T^{\mu\mu}
3. b_\mu = T^{\mu\nu} v_\mu v_\nu

解答：

1. 非法。

   • 左边 (LHS)：T^{\mu\nu} v_\nu。\nu 缩并，自由指标是 \mu（上）。合法。
   • 右边 (RHS)：S^\mu_\nu v^\nu。\nu 缩并，自由指标是 \mu（上）。合法。
   • 左右对比：看起来自由指标都是 \mu。但是，仔细观察左边的求和项：T^{\mu\nu} v_\nu 中，\nu 一上一下。然而公式中的写法，在通常的几何意义下要求很严，但如果你指的是 v_\nu 是协变矢量，这是合法的。
   • 修正思考：如果是 T^{\mu\nu} v^\nu，则两个上标无法缩并（除非有度规参与）。如果是 v_\nu（已降标），则 T^{\mu\nu} v_\nu \to w^\mu。
   • 结论：语法上合法。LHS 和 RHS 都是含有一个上标自由指标 \mu 的矢量。

2. 非法。

   • 爱因斯坦求和必须是一上一下。如果想表达对角线求和，必须引入度规：g_{\mu\nu} T^{\mu\nu}。单纯的 T^{\mu\mu} 在不指定坐标系的情况下没有几何意义（不具备协变性）。

3. 非法。

   • 观察指标 \mu：
   • 更深层错误：右边的 T^{\mu\dots} (上) 和 v_\mu (下) 看起来可以缩并，但如果缩并了，\mu 就变成了哑指标（消失），但左边 b_\mu 却还保留着 \mu 作为自由指标。逻辑矛盾。

4. 合法。

   • 这是张量分析中最标准的方程。
   • 自由指标：\mu, \nu (均为下标)。
   • 第一项 R_{\mu\nu}：自由指标 \mu, \nu。
   • 第二项 \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R：R 是标量（已完全缩并），g_{\mu\nu} 提供自由指标 \mu, \nu。
   • 第三项 T_{\mu\nu}：自由指标 \mu, \nu。
   • 每一项的自由指标结构完全一致。

1.4 对偶空间与余切矢量 (Dual Space & Cotangent Vectors)

在这一节中，我们将严格区分“矢量”和“梯度”这两个在欧几里得空间中经常混淆的概念，并引入 GR 描述物理场的关键接口——余切矢量。

在平直的欧几里得空间中，列向量 v 和行向量 v^T 看起来包含相同的数据（只是转置了一下），因此我们经常混用梯度向量 \nabla f 和位移向量 \vec{r}。

但在流形上，它们是完全不同类型的数据对象，居住在完全不同的空间中，拥有不同的坐标变换法则。

1.4.1 几何直观：箭头 vs. 等高线

• 切矢量 (Tangent Vector, v \in T_p\mathcal{M})：
  • 几何形象：一个小箭头。
  • 物理意义：速度、位移、流量。
  • 类比：实例。它是有“大小”和“方向”的实体。
• *余切矢量 (Cotangent Vector / One-form, $\omega \in T_p^\mathcal{M}$)**：
  • 几何形象：一组成层排列的平行面（类似于地图上的等高线）。
  • 物理意义：密度、梯度、动量。
  • 类比：方法/查询。它的作用是“吃掉”一个矢量，吐出一个实数（测量值）。

当我们将一个矢量（箭头）“射入”一个余切矢量（层叠面）时，箭头穿过的层数，就是两者缩并（Contraction）的结果数值。

1.4.2 形式化定义：线性泛函

定义 1.9 (对偶空间)： 设 T_p\mathcal{M} 是点 p 处的切空间（向量空间）。定义其对偶空间 (Dual Space) T_p^*\mathcal{M} 为所有从 T_p\mathcal{M} 到 \mathbb{R} 的线性映射（线性泛函）的集合。

定义 1.10 (对偶基 / Dual Basis)： 在坐标系 \{x^\mu\} 下，自然切基是 \{\mathbf{e}_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}\}。我们定义其对偶基 \{\theta^\nu = dx^\nu\} 满足如下正交归一条件：

为什么记作 dx？ 在微积分中，dx 是一个无穷小量。但在流形几何中，dx^\mu 被严格定义为坐标函数 x^\mu 的梯度（即 dx^\mu 是一个“提取第 \mu 个分量”的机器）。

任意余切矢量 \omega 可在基底下展开为分量形式（注意下标）：

1.4.3 核心原型：梯度 (The Gradient)

在 GR 中，标量场 f 的导数天然产生一个余切矢量，而不是切矢量。这一对象记为 df（微分/外导数）。

定理 1.2 (梯度的自然性)： 设 f: \mathcal{M} \to \mathbb{R} 是光滑函数，沿着矢量 v 的方向导数定义为 v(f)。 我们可以构造一个线性映射 df，使得：

利用链式法则展开 v(f) = v^\mu \frac{\partial f}{\partial x^\mu}，根据线性性，我们可以读出 df 的分量：

这意味着梯度的分量是 \omega_\mu = \partial_\mu f。

值得一提： 想求一个函数的梯度，本质上是求它相对于坐标网格变化率的线性组合。这是一个行向量操作，因为它等待与一个列向量（变化方向）相乘来产生标量（变化量）。

1.4.4 坐标变换法则 (Transformation Laws)

区分矢量和余切矢量最根本的方法是看它们在坐标变换下的表现。这类似于协变 (Covariant) 与 逆变 (Contravariant) 类型检查。

设坐标系从 x 变换到 x'，雅可比矩阵为 \Lambda^{\mu'}_{\nu} = \frac{\partial x'^{\mu'}}{\partial x^\nu}，其逆矩阵为 (\Lambda^{-1})^\nu_{\mu'} = \frac{\partial x^\nu}{\partial x'^{\mu'}}。

1. 切矢量 (Contravariant / 上标)： 矢量 v = v^\mu \partial_\mu 是客观存在的几何对象，其本体不变。当基底变换时，分量必须反向补偿。

   v'^{\mu'} = \frac{\partial x'^{\mu'}}{\partial x^\nu} v^\nu

   （分量随坐标“分子”变换）

2. 余切矢量 (Covariant / 下标)： 由链式法则 \frac{\partial f}{\partial x'^{\mu'}} = \frac{\partial f}{\partial x^\nu} \frac{\partial x^\nu}{\partial x'^{\mu'}} 可知：

   \omega'_{\mu'} = \frac{\partial x^\nu}{\partial x'^{\mu'}} \omega_\nu

   （分量随坐标“分母”变换，即逆雅可比矩阵）

口诀：

• 上标（矢量）：用顺向导数（新对旧 x'/x）。
• 下标（余切）：用逆向导数（旧对新 x/x'）。

1.4.5 例题讲解

例题 1：欧氏空间与极坐标变换

考虑二维平面上的点 p。

1. 直角坐标 x^\mu = (x, y)。有一常数余切矢量 \omega = 3dx + 4dy，即分量 \omega_\mu = (3, 4)。
2. 极坐标 x'^{\mu'} = (r, \theta)，其中 x = r \cos\theta, y = r \sin\theta。 问题：求 \omega 在极坐标系下的分量 \omega'_{\mu'} = (\omega_r, \omega_\theta)。

解答： 我们需要使用余切矢量的变换法则（下标法则）：

我们需要计算逆雅可比矩阵 \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}：

• \frac{\partial x}{\partial r} = \cos\theta, \quad \frac{\partial x}{\partial \theta} = -r\sin\theta
• \frac{\partial y}{\partial r} = \sin\theta, \quad \frac{\partial y}{\partial \theta} = r\cos\theta

计算分量：

• \omega_r = \frac{\partial x}{\partial r}\omega_x + \frac{\partial y}{\partial r}\omega_y = (\cos\theta) \cdot 3 + (\sin\theta) \cdot 4 = 3\cos\theta + 4\sin\theta
• \omega_\theta = \frac{\partial x}{\partial \theta}\omega_x + \frac{\partial y}{\partial \theta}\omega_y = (-r\sin\theta) \cdot 3 + (r\cos\theta) \cdot 4 = r(4\cos\theta - 3\sin\theta)

注意 \omega_\theta 的量纲带有一个长度 r。这说明余切矢量的分量物理量纲与矢量相反（为了乘积是标量）。在代码中，如果你直接把 (3,4) 赋给 (r, \theta) 分量是类型错误的。

例题 2：标量的不变性验证 (Invariant Check)

问题：验证 \omega(v) 的值与坐标系选择无关。 设矢量 v 在直角坐标系下为 v = v^x \partial_x + v^y \partial_y。在极坐标系下为 v' = v^r \partial_r + v^\theta \partial_\theta。 证明：\omega_\mu v^\mu = \omega'_{\mu'} v'^{\mu'}。

证明： 从 RHS（右边）开始：

代入变换公式：

1. 余切矢量展开：\omega'_{\mu'} = \frac{\partial x^\nu}{\partial x'^{\mu'}} \omega_\nu
2. 切矢量展开：v'^{\mu'} = \frac{\partial x'^{\mu'}}{\partial x^\sigma} v^\sigma

组合：

这里对 \mu', \nu, \sigma 都有求和。利用导数的链式法则，注意 \mu' 是中间变量（哑指标）：

（对同一个坐标系，坐标 x^\nu 对 x^\sigma 的偏导仅当 \nu=\sigma 时为 1，否则为 0）

于是：

结论：缩并操作 \langle \omega, v \rangle 是一个标量（Scalar），它代表真实的物理量，不随我们观察的角度（坐标系）而改变。

例题 3：从度规推导对偶矢量

在闵可夫斯基时空（狭义相对论）中，度规 g_{\mu\nu} = \text{diag}(-1, 1, 1, 1)。 设四维速度矢量 u^\mu = (\gamma, \gamma v, 0, 0)，其中 \gamma = 1/\sqrt{1-v^2}。 问题：求对应的余切矢量 u_\mu。

解答： 这是利用度规进行降指 (Index Lowering) 的典型操作：

展开矩阵乘法：

• u_0 = g_{00} u^0 + g_{01} u^1 + \dots = (-1)(\gamma) + 0 = -\gamma
• u_1 = g_{10} u^0 + g_{11} u^1 + \dots = 0 + (1)(\gamma v) = \gamma v
• u_2 = 1 \cdot 0 = 0
• u_3 = 1 \cdot 0 = 0

结果：

注意：在 GR 中，矢量 u^\mu 和对应的 1-form u_\mu 在第 0 分量上符号相反。如果不区分上下指标，在计算模长 u^2 = u^\mu u_\mu 时就会得到错误的结果。

1.5 通用张量 (General Tensors)

张量是将标量、矢量和余切矢量推广到任意“秩（Rank）”的几何对象。它描述了不同几何实体之间的线性关系。

1.5.1 定义：多重线性映射

定义 1.11 ((k, l) 型张量)： 在流形 \mathcal{M} 上的点 p，一个 (k, l) 型张量 T 是一个多重线性映射：

• 线性性：对任意参数位置，满足 T(\dots, a\mathbf{u} + b\mathbf{v}, \dots) = aT(\dots, \mathbf{u}, \dots) + bT(\dots, \mathbf{v}, \dots)。

类比：函数签名 一个 (1, 1) 张量可以看作一个函数，其强类型签名为： double tensor_mapping(CotangentVector omega, TangentVector v)

• 输入：需要 k 个行向量（用来与上指标缩并）和 l 个列向量（用来与下指标缩并）。
• 输出：当你把所有“槽位（Slots）”填满后，它返回一个不变量（标量）。

1.5.2 张量积与分量表示

我们需要一种“胶水”来将低阶对象组合成高阶张量。

定义 1.12 (张量积 / Tensor Product \otimes)： 设 S 是 (k, l) 型张量，R 是 (m, n) 型张量。它们的张量积 S \otimes R 是一个 (k+m, l+n) 型张量，其定义为：

即：输入参数被分发给 S 和 R，结果相乘。

定理 1.3 (基底展开)： 利用张量积，我们可以构建张量空间的基底。任意 (k, l) 张量 T 可在坐标基 \{ \partial_\mu \} 和 \{ dx^\nu \} 下唯一展开：

其中，T^{\mu_1 \dots \mu_k}_{\nu_1 \dots \nu_l} 是 n^{k+l} 个实数组成的分量数组。

1.5.3 坐标变换法则 (The Supreme Law)

判断一个多维数组是否是“物理张量”的唯一标准，是看它是否遵循以下变换规律。这是 GR 中所有物理定律必须满足的类型安全检查。

设坐标变换 x \to x'，雅可比矩阵为 \Lambda^{\mu'}_{\nu} = \frac{\partial x'^{\mu'}}{\partial x^\nu}，逆雅可比矩阵为 (\Lambda^{-1})^\nu_{\mu'} = \frac{\partial x^\nu}{\partial x'^{\mu'}}。

张量分量变换法则： 对于 (k, l) 张量，其新坐标下的分量 T'^{\mu'_1 \dots}_{\nu'_1 \dots} 为：

规则总结：

1. 每个上指标（逆变）“携带”一个 \frac{\partial x'}{\partial x} （分子是新坐标）。
2. 每个下指标（协变）“携带”一个 \frac{\partial x}{\partial x'} （分母是新坐标）。
3. 所有旧指标 (\rho, \sigma) 都是哑指标，进行求和。

1.5.4 关键操作：缩并 (Contraction)

缩并是降低张量秩（Rank）的唯一内部操作（无需引入外部度规）。

定义 1.13 (缩并)： 设 T 为 (k, l) 型张量（k,l \ge 1）。令其第 i 个上指标与第 j 个下指标相等（求和）。 这将产生一个新的 (k-1, l-1) 型张量。

例如，对于 (1, 1) 张量 T^\mu_\nu，缩并得到标量（迹）：

定理 1.4 (缩并的几何意义)： 在张量作为映射的视角下，T(\omega, v) 本质上就是张量 T 与输入 v, \omega 的缩并。

这里的“填槽”过程，实际上就是把输入的自由指标与张量的对应指标变为哑指标并求和。

1.5.5 例题讲解

例题 1：类型推断与对象识别

问题： 在广义相对论中，判断以下对象的张量类型 (k, l)：

1. 度规张量 g_{\mu\nu}
2. 逆度规 g^{\mu\nu}
3. 克里斯托费尔符号 \Gamma^\lambda_{\mu\nu}
4. 里奇曲率张量 R_{\mu\nu}
5. 黎曼曲率张量 R^\rho_{\sigma\mu\nu}

解答：

1. (0, 2) 张量。它接受两个矢量 u, v，输出内积 g(u,v) \in \mathbb{R}。
2. (2, 0) 张量。它本质上是两个余切矢量的内积映射。
3. 不是张量。\Gamma^\lambda_{\mu\nu} 在坐标变换时包含二阶导数项 \frac{\partial^2 x}{\partial x'^2}，破坏了线性变换规律（它是仿射联络系数，而非张量）。
4. (0, 2) 张量。是 (1,3) 黎曼张量的缩并结果（缩并了一个上标和一个下标，秩减2）。
5. (1, 3) 张量。虽然它有4个指标，但标准定义是接受1个 1-form 和 3个矢量。

例题 2：张量积与运算逻辑

问题： 设矢量 u^\mu = (1, 0)，1-form \omega_\nu = (1, 3)（在二维平面）。 定义 (1, 1) 张量 T = u \otimes \omega。

1. 写出 T 的分量矩阵 T^\mu_\nu。
2. 计算 T 对矢量 v^\nu = (2, 1) 的作用结果。

解答：

1. 计算分量： 根据张量积定义：T^\mu_\nu = u^\mu \omega_\nu。

   T = \begin{pmatrix} u^0 \\ u^1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_0 & \omega_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 & 1\cdot 3 \\ 0\cdot 1 & 0\cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

   注意：在习惯上，第一个指标 \mu (Row) 代表行索引，第二个指标 \nu (Col) 代表列索引。

2. 作用于矢量 v： 这是张量缩并 w^\mu = T^\mu_\nu v^\nu（矩阵乘法）：

   w = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 3 \\ 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix}

   验证：T(v) = (u \otimes \omega)(v) = u \cdot [\omega(v)] = u \cdot [\omega_\nu v^\nu] = u \cdot (1\cdot 2 + 3\cdot 1) = 5u = (5, 0)。结果一致。

例题 3：商定理 (Quotient Theorem) 的应用

问题： 假如有一个多维数组 X^{\mu\nu}，我们不确定它是不是张量。 已知对于任意的协变矢量（1-form） a_\mu 和 b_\nu，缩并结果 S = X^{\mu\nu} a_\mu b_\nu 在任何坐标系下都是一个标量（即 S' = S）。 证明：X^{\mu\nu} 必须是一个 (2, 0) 型张量。

证明思路： 这是一个非常重要的判定定理，称为商定理：如果一个对象被张量“除”（缩并）后得到张量，那它本身就是张量。

1. 根据题意：X'^{\alpha\beta} a'_\alpha b'_\beta = X^{\mu\nu} a_\mu b_\nu (标量不变)。
2. 我们将 a', b' 变换回旧坐标系： a_\mu = \frac{\partial x'^\alpha}{\partial x^\mu} a'_\alpha b_\nu = \frac{\partial x'^\beta}{\partial x^\nu} b'_\beta
3. 代入 RHS： X'^{\alpha\beta} a'_\alpha b'_\beta = X^{\mu\nu} \left( \frac{\partial x'^\alpha}{\partial x^\mu} a'_\alpha \right) \left( \frac{\partial x'^\beta}{\partial x^\nu} b'_\beta \right)
4. 整理项： \left( X'^{\alpha\beta} - \frac{\partial x'^\alpha}{\partial x^\mu} \frac{\partial x'^\beta}{\partial x^\nu} X^{\mu\nu} \right) a'_\alpha b'_\beta = 0
5. 由于 a', b' 是任意矢量，若要上式恒成立，括号内的部分必须为 0（线性代数基本性质）。
6. 因此：X'^{\alpha\beta} = \frac{\partial x'^\alpha}{\partial x^\mu} \frac{\partial x'^\beta}{\partial x^\nu} X^{\mu\nu}。 这正是 (2, 0) 张量的变换法则。得证。

1.6 度规张量 (The Metric Tensor)

1.6.1 定义：广义内积

在抽象向量空间中，内积是一个双线性映射。在微分几何中，我们要求这个映射在每一点都是光滑变化的。可以将度规张量理解为定义在流形上的 内积 API。一旦你给流形装备了这个 API，流形就升级为了黎曼流形（或伪黎曼流形），此时我们才能计算长度、角度，并定义因果结构。

定义 1.14 (度规张量)： 度规 g 是一个光滑的 (0, 2) 型张量场。在流形上的任意点 p，它接受两个切矢量 u, v \in T_p\mathcal{M}，并输出一个实数（标量积）：

它必须满足两个公理：

1. 对称性 (Symmetry)： g(u, v) = g(v, u) \iff g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}

   这保证了 A 到 B 的“距离”等于 B 到 A 的距离。

2. 非退化性 (Non-degeneracy)： 若对于所有的 v，都有 g(u, v) = 0，则必须有 u=0。 这等价于度规矩阵的行列式不为零：\det(g_{\mu\nu}) \neq 0。

1.6.2 线元 (The Line Element)

物理文献中极少直接写出 g_{\mu\nu} 矩阵，而是通过线元 ds^2 来定义度规。线元描述了无穷小位移矢量 d\mathbf{x} = dx^\mu \partial_\mu 的自内积（即模长的平方）。

二次型视角

$g_{\mu\nu}$ 是一个存储几何权重的 $4 \times 4$ 对称矩阵。$dx^\mu$ 是输入的差分向量。 $$ \text{Cost} = [dx^0, \dots, dx^3] \times [G] \times [dx^0, \dots, dx^3]^T $$

1.6.3 符号差与因果结构 (The Signature & Causality)

度规的符号差 (Signature) 决定了流形的物理性质。 将 g_{\mu\nu} 对角化后，对角线上正负号的个数称为符号差。

1. 黎曼度规 (Euclidean/Riemannian)：
   • 签名：(+, +, +, +)
   • 性质：ds^2 = 0 \iff dx = 0。即只要动了，距离就是正的。
   • 用途：普通几何空间。
2. 洛伦兹度规 (Lorentzian) —— 广义相对论使用此定义
   • 签名：(-, +, +, +) 或 (+, -, -, -)（文献中称为 "East Coast" 或 "West Coast" 惯例，本文采用 -+++）。
   • 关键性质：即使 dx \neq 0，也可以有 ds^2 = 0。
   • 因果分类：对于切矢量 v，

1.6.4 音乐同构：升降指标 (Musical Isomorphisms)

度规张量提供了一种“自然”的方式将切空间 T_p\mathcal{M} 和对偶空间 T_p^*\mathcal{M} 粘合起来。

定义 1.15 (降指 / Lowering Indices - \flat)： 给定矢量 v^\mu，通过与度规的部分缩并，生成一个余切矢量 v_\mu：

在矩阵视角下，这等价于：行向量 = 矩阵 \times 列向量。

定义 1.16 (逆度规与升指 / Raising Indices - \sharp)： 度规矩阵的逆矩阵记为 g^{\mu\nu}（注意双上标），满足：

利用它将余切矢量转换回矢量：

值得一提： 在欧氏空间（笛卡尔坐标），g = I（单位阵），所以 v^\mu 和 v_\mu 数值相同。 但在弯曲时空或闵可夫斯基时空中，分量的数值甚至符号都会改变！混淆上下标会导致致命的物理错误。

1.6.5 例题讲解

例题 1：从线元读取度规分量

问题： 考虑三维球坐标空间，其线元公式为：

1. 写出对应的坐标系 \{x^\mu\}。
2. 写出度规张量 g_{\mu\nu} 的矩阵形式。
3. 写出逆度规张量 g^{\mu\nu} 的矩阵形式。

解答：

1. 坐标系 x^1 = r, x^2 = \theta, x^3 = \phi。
2. 观察 ds^2 = g_{11}(dr)^2 + g_{22}(d\theta)^2 + g_{33}(d\phi)^2。由于没有交叉项（如 dr d\theta），非对角元为 0。 [g_{\mu\nu}] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & r^2 \sin^2\theta \end{pmatrix}
3. 由于矩阵是对角阵，其逆矩阵就是对角线元素取倒数： [g^{\mu\nu}] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^{-2} & 0 \\ 0 & (r \sin\theta)^{-2} \end{pmatrix}

   检验：g^{\mu\nu} g_{\nu\lambda} = \delta^\mu_\lambda。例如 \mu=2, \lambda=2: r^{-2} \cdot r^2 = 1。

例题 2：指标升降与符号陷阱

问题： 在狭义相对论（平直闵可夫斯基时空）中，使用 (-+++) 度规：

给定一个四维动量矢量 P^\mu = (E, p_x, p_y, p_z)（这里设 c=1）。

1. 计算协变矢量 P_\mu。
2. 计算模长平方 P^2 = P^\mu P_\mu。
3. 对于光子 (m=0)，这意味着什么？

解答：

1. 降指：

   P_0 = g_{00} P^0 = (-1) \cdot E = -E P_1 = g_{11} P^1 = (1) \cdot p_x = p_x

   ... 所以：P_\mu = (-E, p_x, p_y, p_z) 注意时间分量反号了！

2. 计算模长：

   P^2 = P^\mu P_\mu = P^0 P_0 + P^i P_i = E(-E) + (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) = -E^2 + |\vec{p}|^2

3. 物理诠释： 在相对论力学中，P^2 = -m^2（静质量平方的负数，取决于定义）。 对于光子，m=0。所以 P^2 = 0。 这意味着 -E^2 + |\vec{p}|^2 = 0 \implies E = |\vec{p}|。 几何结论：光子的动量矢量在四维时空中是非零矢量，但其“长度”（自内积）为零。这是一个零矢量 (Null Vector)。

例题 3：非对角度规与混合索引

问题： 考虑一个二维“旋转”坐标系（如克尔黑洞的赤道面简化版），线元包含交叉项：

坐标为 (t, \phi, r)。

1. 写出矩阵 g_{\mu\nu}。
2. 计算行列式 \det(g)，检查其是否退化。
3. 求逆度规 g^{\mu\nu} 中的 g^{tt} 分量。

解答：

1. 识别分量：

   矩阵形式（顺序 t, \phi, r）：

   g = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

2. 计算行列式： 这是块对角矩阵。右上角是 \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}，右下角是 1。

   \det(g) = [(-1)(0) - (1)(1)] \times 1 = -1 \neq 0

   度规非退化，是个合法的洛伦兹度规。

3. 求逆度规： 需要求该矩阵的逆。重点关注左上 2\times 2 块 A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}。

   A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

   即：

   g^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

   结果分析：虽然 g_{tt} = -1，但逆矩阵分量 g^{tt} = 0！这再次强调了 g^{\mu\nu} 不是简单地对 g_{\mu\nu} 每个元素取倒数，而是矩阵求逆的操作。